Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Швидке сортування завжди бере опорним перший елемент. На яких вхідних даних воно демонструє поведінку найгіршого випадку?

  1. AНа масиві у випадковому порядку
  2. BНа масиві, всі елементи якого різні
  3. CНа масиві довжини 2
  4. DНа вже відсортованому масиві
2.Алгоритми та складністьСкладна

Проблема зупинки показує, що:

  1. AЖоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона
  2. BСлід уникати циклів
  3. CДеякі програми працюють швидше на швидших комп'ютерах, тож зупинка залежить від апаратного забезпечення
  4. DКожна програма врешті-решт зупиняється
3.Структури данихСередня

Чому бінарну купу можна зберігати в масиві без жодних вказівників?

  1. AКупи ніколи не містять понад 100 елементів
  2. BУсі ключі в купі однакові
  3. CЦе повне бінарне дерево, тож позиції визначаються простими формулами індексів
  4. DМасиви автоматично зберігають ключі відсортованими, тож вказівники не потрібні
4.Структури данихСкладна

Чому B-дерева використовують у базах даних і файлових системах?

  1. AВисокий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска
  2. BВони не потребують перебалансування
  3. CВони займають менше пам'яті, ніж будь-який масив, тож увесь індекс завжди вміщується в оперативній пам'яті
  4. DВони зберігають невідсортовані дані
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
781109414834ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · На вже відсортованому масиві

Чому це відповідь

На відсортованих даних опорний елемент завжди мінімальний, тож одна частина порожня, а інша має n − 1 елементів, що дає O(n²).

Відповідь

D · На вже відсортованому масиві
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Жоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона

Чому це відповідь

Тюрінг показав, що проблема зупинки нерозв'язна: припущення про існування розв'язувального алгоритму призводить до суперечності з програмою, яка робить протилежне.

Відповідь

A · Жоден алгоритм не може для кожної програми та вхідних даних визначити, чи зупиниться вона
3.Структури даних

Відповідь: C · Це повне бінарне дерево, тож позиції визначаються простими формулами індексів

Чому це відповідь

Повнота означає відсутність прогалин, тож діти індексу i завжди розташовані в 2i + 1 і 2i + 2.

Відповідь

C · Це повне бінарне дерево, тож позиції визначаються простими формулами індексів
4.Структури даних

Відповідь: A · Високий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска

Чому це відповідь

B-дерева зберігають багато ключів у вузлі, тому висота мала й на один пошук потрібно мало зчитувань блоків; B+ дерева також зв'язують листки для сканування діапазонів.

Відповідь

A · Високий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 19

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 7, C: 8
B (7): D: 8, G: 21
C (8): E: 18, G: 16
D (8): E: 17, G: 11
G (11): E: 15
E (15): F: 19
F (19)

Найкоротший шлях

A → B → D → G → E → F
d(F) = 19

Відповідь

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms