Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яке твердження про рекурсивну функцію без досяжного базового випадку правильне?

  1. AКомпілятор завжди перетворює її на цикл, що безпечно завершується
  2. BВона автоматично повертає 0
  3. CВона викликає себе, доки не переповниться стек викликів
  4. DВона виконується за час O(1)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що випливало б, якби хтось знайшов поліноміальний алгоритм для однієї NP-повної задачі?

  1. AКожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP
  2. BУсі алгоритми з експоненційним часом негайно стали б працювати за лінійний час
  3. CЛише ця одна задача перейшла б до P
  4. DПроблема зупинки стала б розв'язною
3.Структури данихСередня

Як обчислюють наступну позицію після індексу i в циклічній черзі, що зберігається в масиві місткістю n?

  1. A2i + 1
  2. B(i − 1) mod n
  3. Ci + 1
  4. D(i + 1) mod n
4.Структури данихСкладна

Чому B-дерева використовують у базах даних і файлових системах?

  1. AВони не потребують перебалансування
  2. BВони займають менше пам'яті, ніж будь-який масив, тож увесь індекс завжди вміщується в оперативній пам'яті
  3. CВони зберігають невідсортовані дані
  4. DВисокий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K5? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K5
H =
6.Теорія графівСкладна
8651620179ABCDE

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Вона викликає себе, доки не переповниться стек викликів

Чому це відповідь

Без базового випадку рекурсія ніколи не зупиняється; на практиці пам'ять для кадрів стека вичерпується, і програма аварійно завершується.

Відповідь

C · Вона викликає себе, доки не переповниться стек викликів
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Кожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP

Чому це відповідь

Оскільки весь клас NP зводиться до будь-якої NP-повної задачі за поліноміальний час, швидкий алгоритм для однієї дає швидкий алгоритм для всіх.

Відповідь

A · Кожну задачу з NP можна було б розв'язати за поліноміальний час, тож P = NP
3.Структури даних

Відповідь: D · (i + 1) mod n

Чому це відповідь

Операція за модулем переводить індекс n − 1 назад у 0, тож масив використовується повторно без зсуву елементів.

Відповідь

D · (i + 1) mod n
4.Структури даних

Відповідь: D · Високий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска

Чому це відповідь

B-дерева зберігають багато ключів у вузлі, тому висота мала й на один пошук потрібно мало зчитувань блоків; B+ дерева також зв'язують листки для сканування діапазонів.

Відповідь

D · Високий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска
5.Теорія графів

Відповідь: H = 12

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Відповідь

H = 12
6.Теорія графів

Відповідь: W = 36

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

BC (5): взяти
AC (6): взяти
AB (8): пропустити, замикає цикл
BE (9): взяти
BD (16): взяти

Загальна вага

W = 5 + 6 + 9 + 16 = 36

Відповідь

W = 36

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms