Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Скільки рівнів має рекурсія сортування злиттям для масиву з n елементів?

  1. AБлизько √n
  2. BБлизько n / 2
  3. CБлизько n
  4. DБлизько log₂ n
2.Алгоритми та складністьСкладна

Які дві речі треба показати, щоб довести, що задача розпізнавання X є NP-повною?

  1. AX не має поліноміального алгоритму, і X розв'язна
  2. BX належить до P, і X зводиться до SAT
  3. CX зводиться до задачі з P, і X належить до NP
  4. DX належить до NP, і відома NP-повна задача зводиться до X за поліноміальний час
3.Структури данихСередня

Який максимально можливий коефіцієнт заповнення геш-таблиці з відкритою адресацією?

  1. A1
  2. B2
  3. C0,5
  4. DМаксимуму немає
4.Структури данихСкладна

Для кожного елемента масиву потрібно знайти наступний більший елемент праворуч від нього за загальний час O(n). Яка структура допоможе?

  1. AСтек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь
  2. BЧерга, що містить кожну пару елементів
  3. CГеш-таблиця всіх елементів
  4. DБінарне дерево пошуку, перебудоване для кожного елемента
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 11
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
208657102ABCDE

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Близько log₂ n

Чому це відповідь

Ділення навпіл від n до 1 потребує близько log₂ n рівнів, і кожен рівень виконує O(n) роботи злиття, що дає O(n log n).

Відповідь

D · Близько log₂ n
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · X належить до NP, і відома NP-повна задача зводиться до X за поліноміальний час

Чому це відповідь

Належність до NP показує, що X не складніша за NP; зведення від відомої NP-повної задачі показує, що X щонайменше така ж складна, як увесь NP.

Відповідь

D · X належить до NP, і відома NP-повна задача зводиться до X за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: A · 1

Чому це відповідь

За відкритої адресації всі ключі зберігаються в самій таблиці, тож n не може перевищити m; у методі ланцюжків коефіцієнт заповнення може бути більшим за 1.

Відповідь

A · 1
4.Структури даних

Відповідь: A · Стек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь

Чому це відповідь

Скануючи зліва направо, вийміть зі стека кожен елемент, менший за поточний (поточний елемент — їхня відповідь), а потім занесіть поточний; кожен елемент переміщується щонайбільше двічі.

Відповідь

A · Стек, що зберігає елементи, які чекають на свою відповідь
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Непарні вершини

D, F → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 21

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

BE (2): взяти
BD (5): взяти
BC (6): взяти
CE (7): пропустити, замикає цикл
AC (8): взяти

Загальна вага

W = 2 + 5 + 6 + 8 = 21

Відповідь

W = 21

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms