Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Як алгоритм Прима будує мінімальне кістякове дерево?

  1. AВін видаляє найдорожче ребро, доки не залишиться циклів
  2. BВін запускає пошук у ширину й зберігає дерево BFS
  3. CВін сортує всі ребра за вагою й додає кожне, окрім тих, що утворили б цикл у лісі
  4. DВін вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який прийом забезпечує очікуваний час роботи O(n log n) для швидкого сортування на будь-яких вхідних даних?

  1. AСортування вхідних даних перед запуском швидкого сортування
  2. BВибір завжди першого елемента
  3. CВибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом
  4. DЗастосування рекурсії лише до лівої частини
3.Структури данихСередня

Скільки часу потрібно, щоб перевірити наявність ребра (u, v) за допомогою матриці суміжності?

  1. AO(E)
  2. BO(1)
  3. CO(V)
  4. DO(log V)
4.Структури данихСкладна

Який очікуваний час пошуку за простого рівномірного гешування в геш-таблиці з ланцюжками, n ключами та m кошиками?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1 + α), де α = n / m
  4. DO(m)
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 17 вершин і 18 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 17|E| = 18
k =
6.Теорія графівСкладна
14161741256139ABCDEF

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Він вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева

Чому це відповідь

Алгоритм Прима з чергою з пріоритетами для ребер, що перетинають розріз, працює за O(E log V) із бінарною купою.

Відповідь

D · Він вирощує одне дерево від початкової вершини, додаючи найдешевше ребро, що виходить із дерева
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Вибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом

Чому це відповідь

З випадковим опорним елементом очікуваний час роботи становить O(n log n) для будь-яких вхідних даних; погані випадки все ще можливі, але дуже малоймовірні.

Відповідь

C · Вибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом
3.Структури даних

Відповідь: B · O(1)

Чому це відповідь

Елемент матриці в рядку u, стовпці v одразу показує, чи існує ребро; у списку суміжності може знадобитися переглянути сусідів u.

Відповідь

B · O(1)
4.Структури даних

Відповідь: C · O(1 + α), де α = n / m

Чому це відповідь

Обчислення гешу коштує O(1), а очікувана довжина ланцюжка — α, тож обмеження α через зміну розміру таблиці дає очікуваний час O(1).

Відповідь

C · O(1 + α), де α = n / m
5.Теорія графів

Відповідь: k = 2

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

17 − 1 = 16

Ребра для вилучення

k = 18 − 16 = 2

Відповідь

k = 2
6.Теорія графів

Відповідь: W = 41

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

BD (4): взяти
DE (5): взяти
DF (6): взяти
BE (9): пропустити, замикає цикл
CE (12): взяти
EF (13): пропустити, замикає цикл
AB (14): взяти

Загальна вага

W = 4 + 5 + 6 + 12 + 14 = 41

Відповідь

W = 41

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms