Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який алгоритм знаходить найкоротші шляхи з одного джерела в графі з невід'ємними вагами ребер?

  1. AАлгоритм Краскала
  2. BАлгоритм Дейкстри
  3. CУ всіх випадках потрібен алгоритм Беллмана–Форда
  4. DПошук у глибину (DFS)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому алгоритм Дейкстри може давати неправильні результати, коли деякі ваги ребер від'ємні?

  1. AВід'ємні числа неможливо зберігати в черзі з пріоритетами
  2. BВін працює лише на неорієнтованих графах
  3. CВін зациклюється на кожному від'ємному ребрі
  4. DВершину остаточно фіксують під час вилучення, але пізніше від'ємне ребро ще може дати їй коротший шлях
3.Структури данихСередня

Яке призначення сторожового (фіктивного, sentinel) вузла у зв'язному списку?

  1. AСпростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
  2. BЗробити список відсортованим
  3. CНе дати списку зростати понад фіксовану максимальну кількість вузлів
  4. DЗберігати кількість елементів
4.Структури данихСкладна

Які витрати часу й додаткової пам'яті на обернення однозв'язного списку на місці?

  1. AO(n log n) часу та O(1) додаткової пам'яті
  2. BO(n) часу та O(n) додаткової пам'яті
  3. CO(1) часу та O(1) додаткової пам'яті
  4. DO(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K4? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K4
H =
6.Теорія графівСкладна
3245910152ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 5; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Алгоритм Дейкстри

Чому це відповідь

Алгоритм Дейкстри працює з невід'ємними вагами; алгоритм Беллмана–Форда допускає від'ємні ваги; алгоритм Краскала будує мінімальні кістякові дерева.

Відповідь

B · Алгоритм Дейкстри
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Вершину остаточно фіксують під час вилучення, але пізніше від'ємне ребро ще може дати їй коротший шлях

Чому це відповідь

Жадібний крок спирається на невід'ємні ваги, щоб вилучені відстані були остаточними; коли ваги можуть бути від'ємними, використовують Беллмана–Форда.

Відповідь

D · Вершину остаточно фіксують під час вилучення, але пізніше від'ємне ребро ще може дати їй коротший шлях
3.Структури даних

Відповідь: A · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості

Чому це відповідь

Зі сторожовим вузлом кожен справжній вузол має попередника, тож вставлення чи видалення на початку не потребує особливої обробки.

Відповідь

A · Спростити код, усунувши особливі випадки на голові чи хвості
4.Структури даних

Відповідь: D · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті

Чому це відповідь

Три вказівники (попередній, поточний, наступний) дають змогу обернути кожне посилання за один прохід, не виділяючи нових вузлів.

Відповідь

D · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
5.Теорія графів

Відповідь: H = 3

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Відповідь

H = 3
6.Теорія графів

Відповідь: E

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 3, C: 2
2. C (2): E: 11
3. B (3): D: 8
4. D (8): F: 23
5. E (11): F: 13
6. F (13)

раунд 5

E

Відповідь

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms