Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який алгоритм сортування є стійким?

  1. AПірамідальне сортування
  2. BСортування злиттям
  3. CСортування вибором (типова версія)
  4. DШвидке сортування (типова версія на місці)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як співвідносяться n! і 2ⁿ для великих n?

  1. An! зростає швидше, ніж 2ⁿ
  2. BВони зростають з однаковою швидкістю
  3. Cn! є O(n²)
  4. D2ⁿ зростає швидше, ніж n!
3.Структури данихСередня

Ключі 50, 30, 70, 20, 40 вставляють у такому порядку в порожнє бінарне дерево пошуку. Яка ліва дитина вузла 30?

  1. A20
  2. B50
  3. C70
  4. D40
4.Структури данихСкладна

Чому в геш-таблиці з відкритою адресацією видалення часто виконують за допомогою позначки «надгробок» (tombstone)?

  1. AЦе робить таблицю відсортованою
  2. BЗвільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів
  3. CВидалені ключі треба зберігати назавжди з міркувань безпеки, тож комірки ніколи не можна використати повторно
  4. DНадгробки пришвидшують гешування
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 3, 4 вершин степеня 4, 2 вершин степеня 5, 4 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 34 × deg 42 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
14151367852ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(E) найкоротшого шляху від A до E у зваженому графі.

початок: Aкінець: E
d(E) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Сортування злиттям

Чому це відповідь

Сортування злиттям стійке, якщо за рівних ключів під час злиття спочатку береться елемент із лівої половини. Швидке сортування на місці, пірамідальне сортування й сортування вибором зазвичай не є стійкими.

Відповідь

B · Сортування злиттям
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · n! зростає швидше, ніж 2ⁿ

Чому це відповідь

Для n ≥ 4 n! перевищує 2ⁿ, і відношення зростає необмежено, бо кожен додатковий множник n! більший за 2.

Відповідь

A · n! зростає швидше, ніж 2ⁿ
3.Структури даних

Відповідь: A · 20

Чому це відповідь

20 менше за 50 і менше за 30, тож стає лівою дитиною вузла 30; 40 стає його правою дитиною.

Відповідь

A · 20
4.Структури даних

Відповідь: B · Звільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів

Чому це відповідь

Якби видалена комірка стала порожньою, подальші пошуки могли б зупинитися зарано й пропустити ключі, розміщені далі в ланцюжку зондування.

Відповідь

B · Звільнення комірки могло б розірвати послідовність зондування для інших ключів
5.Теорія графів

Відповідь: L = 19

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 43 = 2(L + 13) − 2
L = 19

Відповідь

L = 19

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(E) = 16

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 14, C: 15
B (14): D: 20, E: 16
C (15)
E (16): F: 21
D (20)
F (21)

Найкоротший шлях

A → B → E
d(E) = 16

Відповідь

d(E) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms