Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Розв'язком рекурентного співвідношення T(n) = 2T(n/2) + O(n) є:

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Як класифікують задачу комівояжера?

  1. AВерсія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною
  2. BВерсія розпізнавання належить до P, а оптимізаційна — NP-повна
  3. CВона належить до P, бо її розв'язує алгоритм Дейкстри, відвідуючи кожне місто один раз
  4. DВона нерозв'язна
3.Структури данихСередня

Вузол бінарного дерева пошуку має праве піддерево. Де розташований його наступник у симетричному порядку (in-order successor)?

  1. AКрайній правий вузол його лівого піддерева
  2. BКрайній лівий вузол його правого піддерева
  3. CЗавжди його батько
  4. DЗавжди його права дитина
4.Структури данихСкладна

Видалення вузла з двома дітьми з бінарного дерева пошуку зазвичай виконують так:

  1. AЗамінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
  2. BМіняють його місцями з коренем
  3. CВидаляють усе піддерево
  4. DПеребудовують піддерево під ним з нуля й повторно вставляють усі ключі, які воно містило
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 11 вершин і 16 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 11|E| = 16
k =
6.Теорія графівСкладна
12159114535ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n log n)

Чому це відповідь

За основною теоремою про рекурентні співвідношення (master theorem) при a = 2, b = 2, f(n) = n маємо T(n) = Θ(n log n).

Відповідь

D · O(n log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Версія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною

Чому це відповідь

«Чи існує маршрут довжиною щонайбільше k?» — NP-повна задача; пошук найкоротшого маршруту — NP-складна, бо вона щонайменше така ж складна.

Відповідь

A · Версія розпізнавання є NP-повною, а оптимізаційна версія — NP-складною
3.Структури даних

Відповідь: B · Крайній лівий вузол його правого піддерева

Чому це відповідь

Усі більші ключі, близькі до вузла, розташовані в його правому піддереві, а найменший із них — це крайній лівий вузол там.

Відповідь

B · Крайній лівий вузол його правого піддерева
4.Структури даних

Відповідь: A · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол

Чому це відповідь

In-order наступник має щонайбільше одну дитину, тому його легко видалити після копіювання його ключа у вузол, що видаляється.

Відповідь

A · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
5.Теорія графів

Відповідь: k = 6

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

11 − 1 = 10

Ребра для вилучення

k = 16 − 10 = 6

Відповідь

k = 6
6.Теорія графів

Відповідь: E

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 12, C: 15
2. B (12): E: 17
3. C (15)
4. E (17): D: 21, F: 20
5. F (20)
6. D (21)

раунд 4

E

Відповідь

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms