Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який розв'язок рекурентного співвідношення T(n) = 2T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка оцінка для log(n!) правильна?

  1. AΘ(log n)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Структури данихСередня

Що правильно щодо матриці суміжності неорієнтованого графа?

  1. AКожен рядок містить рівно одну 1
  2. BВона симетрична відносно головної діагоналі
  3. CЇї головна діагональ завжди містить одиниці
  4. DВона завжди верхньотрикутна
4.Структури данихСкладна

Яку гарантію щодо висоти дерева з n ключами дають правила червоно-чорного дерева?

  1. AВисота щонайбільше n / 2
  2. BВисота щонайбільше log2 n + 1
  3. CВисота рівно log2 n
  4. DВисота щонайбільше 2 log2(n + 1)
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 3, 3 вершин степеня 4, 3 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 33 × deg 43 × deg 5
L =
6.Теорія графівСкладна
12715114111583ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(2ⁿ)

Чому це відповідь

Кількість викликів подвоюється на кожному рівні, а рівнів n, тож загалом виходить близько 2ⁿ, як у задачі про Ханойські вежі.

Відповідь

C · O(2ⁿ)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Θ(n log n)

Чому це відповідь

log(n!) ≤ n log n, а n / 2 найбільших множників дають log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); саме тому сортування порівняннями потребує Ω(n log n).

Відповідь

C · Θ(n log n)
3.Структури даних

Відповідь: B · Вона симетрична відносно головної діагоналі

Чому це відповідь

У неорієнтованому графі ребро {u, v} означає, що встановлено і M[u][v], і M[v][u], тож матриця дорівнює своїй транспонованій.

Відповідь

B · Вона симетрична відносно головної діагоналі
4.Структури даних

Відповідь: D · Висота щонайбільше 2 log2(n + 1)

Чому це відповідь

Кожен шлях має однакову кількість чорних вузлів, а червоні вузли не можуть бути сусідніми, тож найдовший шлях щонайбільше вдвічі довший за найкоротший, що дає висоту O(log n).

Відповідь

D · Висота щонайбільше 2 log2(n + 1)
5.Теорія графів

Відповідь: L = 21

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 39 = 2(L + 10) − 2
L = 21

Відповідь

L = 21

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 19

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 12, C: 7
C (7): E: 11
E (11): D: 22, F: 19
B (12)
F (19)
D (22)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 19

Відповідь

d(F) = 19

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms