Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що вимірює амортизований аналіз?

  1. AОчікувану вартість на випадкових вхідних даних
  2. BВартість однієї найдорожчої операції будь-де в послідовності
  3. CСередню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку
  4. DВартість алгоритму на найкращих вхідних даних
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка часова складність побудови бінарної купи з n невідсортованих елементів висхідним методом (bottom-up)?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
3.Структури данихСередня

Чому обхід масиву на практиці часто значно швидший, ніж обхід зв'язного списку такої самої довжини?

  1. AМасиви використовують менше інструкцій для порівняння значень
  2. BЗв'язні списки завжди зберігають елементи на диску
  3. CЕлементи масиву розташовані суцільно, тож добре використовують кеш процесора
  4. DОбхід масиву загалом має складність O(1), а обхід зв'язного списку — O(n)
4.Структури данихСкладна

Ключі 5, 3, 8, 1 вставляють у такому порядку в порожню бінарну мін-купу на основі масиву. Який остаточний масив?

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 3, 8, 5]
  3. C[1, 3, 5, 8]
  4. D[1, 5, 8, 3]
5.Теорія графівСередня

Дерево має 3 вершин степеня 3, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

3 × deg 33 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
8611132187ABCDE

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Середню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку

Чому це відповідь

Амортизований аналіз розподіляє вартість рідкісних дорогих операцій на багато дешевих, даючи гарантоване середнє для будь-якої послідовності.

Відповідь

C · Середню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n)

Чому це відповідь

Сума витрат на просіювання вниз (sift-down) за всіма рівнями утворює збіжний ряд, тому побудова купи (heapify) виконується за лінійний час.

Відповідь

A · O(n)
3.Структури даних

Відповідь: C · Елементи масиву розташовані суцільно, тож добре використовують кеш процесора

Чому це відповідь

Суцільна пам'ять забезпечує добру локальність звертань, а зв'язані вузли можуть бути розкидані й спричиняти багато кеш-промахів.

Відповідь

C · Елементи масиву розташовані суцільно, тож добре використовують кеш процесора
4.Структури даних

Відповідь: B · [1, 3, 8, 5]

Чому це відповідь

Після 5, 3, 8 масив — [3, 5, 8]; 1 потрапляє в індекс 3, обмінюється з батьком 5, а потім із 3, що дає [1, 3, 8, 5].

Відповідь

B · [1, 3, 8, 5]
5.Теорія графів

Відповідь: L = 5

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 15 = 2(L + 6) − 2
L = 5

Відповідь

L = 5

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 28

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

CE (2): взяти
AC (6): взяти
BE (7): взяти
AB (8): пропустити, замикає цикл
BC (11): пропустити, замикає цикл
BD (13): взяти

Загальна вага

W = 2 + 6 + 7 + 13 = 28

Відповідь

W = 28

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms