Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Маючи монети номіналом 1, 3 і 4 та суму 6, скільки монет використовує жадібний метод «спершу найбільша монета» порівняно з оптимумом?

  1. AЖадібний використовує 2 монети; оптимум — 2
  2. BЖадібний використовує 4 монети; оптимум — 3
  3. CЖадібний використовує 3 монети; оптимум — 3
  4. DЖадібний використовує 3 монети; оптимум — 2
2.Алгоритми та складністьСкладна

Які дві речі треба показати, щоб довести, що задача розпізнавання X є NP-повною?

  1. AX не має поліноміального алгоритму, і X розв'язна
  2. BX належить до P, і X зводиться до SAT
  3. CX зводиться до задачі з P, і X належить до NP
  4. DX належить до NP, і відома NP-повна задача зводиться до X за поліноміальний час
3.Структури данихСередня

Як працює extract-min у бінарній мін-купі?

  1. AВидаляють останній елемент масиву
  2. BШукають новий мінімум серед усіх листків
  3. CВидаляють корінь і зсувають усі елементи на одну позицію ліворуч
  4. DОстанній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
4.Структури данихСкладна

Дерево відрізків (segment tree) зазвичай використовують для:

  1. AРеалізації стека
  2. BВідповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)
  3. CСортування рядків за абеткою шляхом зберігання кожного префікса в окремому вузлі дерева
  4. DЗберігання ребер графа
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 11
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
1418895131216111ABCDEFG

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Жадібний використовує 3 монети; оптимум — 2

Чому це відповідь

Жадібний метод бере 4 + 1 + 1 = 3 монети, але 3 + 3 — лише 2, тож для цієї системи монет жадібний метод не оптимальний; оптимальне динамічне програмування.

Відповідь

D · Жадібний використовує 3 монети; оптимум — 2
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · X належить до NP, і відома NP-повна задача зводиться до X за поліноміальний час

Чому це відповідь

Належність до NP показує, що X не складніша за NP; зведення від відомої NP-повної задачі показує, що X щонайменше така ж складна, як увесь NP.

Відповідь

D · X належить до NP, і відома NP-повна задача зводиться до X за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: D · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз

Чому це відповідь

Останній елемент заповнює порожнє місце в корені й обмінюється з меншою дитиною, доки не виконується властивість купи, що займає O(log n).

Відповідь

D · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
4.Структури даних

Відповідь: B · Відповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)

Чому це відповідь

Дерево відрізків зберігає агрегати для проміжків, підтримуючи запити на діапазонах і точкові оновлення за час O(log n).

Відповідь

B · Відповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Непарні вершини

C, E → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 49

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

GD (1): взяти
DE (5): взяти
BD (8): взяти
CE (9): взяти
GE (11): пропустити, замикає цикл
EF (12): взяти
DF (13): пропустити, замикає цикл
AC (14): взяти

Загальна вага

W = 1 + 5 + 8 + 9 + 12 + 14 = 49

Відповідь

W = 49

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms