Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Ви один раз сортуєте масив із n елементів, а потім відповідаєте на k запитів про належність бінарним пошуком. Яка загальна вартість?

  1. AO(nk)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(n + k)
  4. DO(n log n + k log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому будь-який пошук порівняннями у відсортованому масиві потребує Ω(log n) порівнянь у найгіршому випадку?

  1. AДерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n
  2. BКожне порівняння триває логарифмічний час
  3. CБінарний пошук — єдиний можливий алгоритм, і йому потрібно log₂ n порівнянь
  4. DКожен елемент треба порівняти щонайменше один раз
3.Структури данихСередня

Як вставляють новий елемент у бінарну купу?

  1. AПеребудовують усю купу з нуля
  2. BРозміщують його в корені й просіюють униз
  3. CРозміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи
  4. DВставляють його на відсортовану позицію, зсуваючи всі більші елементи на одне місце праворуч
4.Структури данихСкладна

Що робить розширюване дерево (splay tree) після кожного звертання?

  1. AПереміщує вузол, до якого звернулися, у листок
  2. BПоворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь
  3. CПерефарбовує вузли на шляху пошуку
  4. DПеребудовує все дерево у збалансовану форму
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
819511141039ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n log n + k log n)

Чому це відповідь

Сортування коштує O(n log n), а кожен запит — O(log n); за великого k це краще, ніж k лінійних переглядів (O(nk)).

Відповідь

D · O(n log n + k log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Дерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n

Чому це відповідь

Кожне порівняння щонайбільше вдвічі зменшує множину можливостей, що залишилися, тож для розрізнення n позицій потрібно щонайменше log₂ n порівнянь.

Відповідь

A · Дерево рішень з n можливими результатами має глибину щонайменше log₂ n
3.Структури даних

Відповідь: C · Розміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи

Чому це відповідь

Додавання в кінець зберігає повноту дерева; обміни з батьком відновлюють порядок за O(log n) кроків.

Відповідь

C · Розміщують його в кінці масиву й просіюють угору, поки він порушує властивість купи
4.Структури даних

Відповідь: B · Поворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь

Чому це відповідь

Splay-операція переміщує вузол, до якого звернулися, у корінь за допомогою поворотів; одна операція може коштувати O(n), але амортизована вартість — O(log n).

Відповідь

B · Поворотами піднімає вузол, до якого звернулися, у корінь
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

A, C → 2
Ейлерів шлях, не цикл

Відповідь

Ейлерів шлях, не цикл

Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 15

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 8, C: 1
C (1): E: 12
B (8): D: 13
E (12): F: 15
D (13)
F (15)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 15

Відповідь

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms