Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Приблизно скільки порівнянь потребує бінарний пошук у найгіршому випадку на відсортованому масиві з 1,000,000 елементів?

  1. AБлизько 1,000
  2. BБлизько 100
  3. CБлизько 20
  4. DБлизько 500,000
2.Алгоритми та складністьСкладна

Які дві речі треба показати, щоб довести, що задача розпізнавання X є NP-повною?

  1. AX не має поліноміального алгоритму, і X розв'язна
  2. BX належить до P, і X зводиться до SAT
  3. CX належить до NP, і відома NP-повна задача зводиться до X за поліноміальний час
  4. DX зводиться до задачі з P, і X належить до NP
3.Структури данихСередня

Яка часова складність пошуку ключа в збалансованому бінарному дереві пошуку?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
4.Структури данихСкладна

Фільтр Блума може відповісти на запитання «чи належить цей елемент множині?»:

  1. AЗ можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів
  2. BЗавжди точно
  3. CЛише для чисел
  4. DЗ можливими хибнонегативними, але без хибнопозитивних результатів
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
ABCDEF

Скільки маршрутів довжиною 3 ведуть від C до D? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 3
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Близько 20

Чому це відповідь

220 ≈ 1,048,576, тож приблизно після 20 ділень навпіл залишається лише один елемент.

Відповідь

C · Близько 20
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · X належить до NP, і відома NP-повна задача зводиться до X за поліноміальний час

Чому це відповідь

Належність до NP показує, що X не складніша за NP; зведення від відомої NP-повної задачі показує, що X щонайменше така ж складна, як увесь NP.

Відповідь

C · X належить до NP, і відома NP-повна задача зводиться до X за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: A · O(log n)

Чому це відповідь

Збалансоване дерево має висоту близько log₂ n, тому пошук проходить одним шляхом від кореня до листка.

Відповідь

A · O(log n)
4.Структури даних

Відповідь: A · З можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів

Чому це відповідь

Якщо будь-який біт для елемента дорівнює 0, елемента точно немає; якщо всі дорівнюють 1, він, імовірно, є. Фільтри Блума жертвують точністю заради дуже малого обсягу пам'яті.

Відповідь

A · З можливими хибнопозитивними, але без хибнонегативних результатів
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 4, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Непарні вершини

B, E, F, G → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: N = 2

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 0 1 0 0 0
B: 0 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Ще один крок

(M³)CD = 0·0 + 1·1 + 3·0 + 1·0 + 1·0 + 1·1 = 2

Відповідь

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms