Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яке твердження про рекурсивну функцію без досяжного базового випадку правильне?

  1. AВона автоматично повертає 0
  2. BВона виконується за час O(1)
  3. CКомпілятор завжди перетворює її на цикл, що безпечно завершується
  4. DВона викликає себе, доки не переповниться стек викликів
2.Алгоритми та складністьСкладна

Задача про рюкзак 0/1, розв'язана динамічним програмуванням, потребує O(nW) часу. Чому це називають псевдополіноміальним часом?

  1. AW — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W
  2. BТому що алгоритм рандомізований, а його час роботи змінюється для кожних вхідних даних
  3. CТому що він працює лише для W = 0
  4. DТому що n завжди мале
3.Структури данихСередня

Симетричний обхід (in-order) бінарного дерева пошуку відвідує ключі:

  1. AЗавжди в порядку спадання
  2. BУ порядку вставлення
  3. CУ порядку зростання (відсортовано)
  4. DПо рівнях
4.Структури данихСкладна

Структура union-find (система неперетинних множин) з об'єднанням за рангом і стисненням шляху має амортизовану вартість операції:

  1. AРівно O(log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала
  4. DO(n)
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
ABCDE

Скільки замкнених маршрутів довжиною 2 починаються й закінчуються в A? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Вона викликає себе, доки не переповниться стек викликів

Чому це відповідь

Без базового випадку рекурсія ніколи не зупиняється; на практиці пам'ять для кадрів стека вичерпується, і програма аварійно завершується.

Відповідь

D · Вона викликає себе, доки не переповниться стек викликів
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · W — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W

Чому це відповідь

Час роботи поліноміальний відносно значення W, але експоненційний відносно його довжини (log W бітів); задача про рюкзак 0/1 є NP-повною.

Відповідь

A · W — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W
3.Структури даних

Відповідь: C · У порядку зростання (відсортовано)

Чому це відповідь

Відвідування лівого піддерева, потім вузла, потім правого піддерева виводить ключі BST у відсортованому порядку.

Відповідь

C · У порядку зростання (відсортовано)
4.Структури даних

Відповідь: C · O(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала

Чому це відповідь

З обома оптимізаціями операції виконуються за амортизований час O(α(n)); α(n) ≤ 4 для будь-якого реалістичного n.

Відповідь

C · O(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 4

Непарні вершини

A, B, C, D, E, F → 6
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: N = 2

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Спільні сусіди

(M²)AA = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 2

Відповідь

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms