Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання: Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярний граф: |E| = n·k/2
Дерево і ліс: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер: цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в K_n: (n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L: (Mᴸ)_ij

Метод

Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

AO(n²)
BO(n)
CO(log n)
DO(n log n)

2.Алгоритми та складністьСкладна

Найкоротші прості шляхи можна знайти за поліноміальний час. Що відомо про пошук найдовшого простого шляху між двома вершинами в загальному графі?

AВона нерозв'язна
BЇї завжди можна розв'язати за O(V + E)
CЦе NP-складна задача
DЇї можна розв'язати алгоритмом Дейкстри з від'ємними вагами

3.Структури данихСередня

Який максимально можливий коефіцієнт заповнення геш-таблиці з відкритою адресацією?

A0,5
B1
CМаксимуму немає
D2

4.Структури данихСкладна

У BST з коренем 50, лівим піддеревом 30 (діти 20, 40) і правим піддеревом 70 (діти 60, 80) корінь видаляють за допомогою наступника в симетричному порядку. Який ключ стає новим коренем?

5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 12 вершин і 12 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 12|E| = 12

k =

6.Теорія графівСкладна

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F

d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n log n)

Чому це відповідь

Внутрішній цикл виконується близько log₂ n разів для кожної з n зовнішніх ітерацій, що дає O(n log n).

Відповідь

D · O(n log n)

2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Це NP-складна задача

Чому це відповідь

Найдовший простий шлях довжиною V − 1 — це гамільтонів шлях, пошук якого є NP-повною задачею; утім, на орієнтованих ациклічних графах задача розв'язна за лінійний час.

Відповідь

C · Це NP-складна задача

3.Структури даних

Відповідь: B · 1

Чому це відповідь

За відкритої адресації всі ключі зберігаються в самій таблиці, тож n не може перевищити m; у методі ланцюжків коефіцієнт заповнення може бути більшим за 1.

Відповідь

B · 1

4.Структури даних

Відповідь: C · 60

Чому це відповідь

Крайній лівий вузол правого піддерева — 60, тож 60 замінює 50, а його попередня позиція видаляється; використання попередника дало б 40.

Відповідь

C · 60

5.Теорія графів

Відповідь: k = 1

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у K_n їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

12 − 1 = 11

Ребра для вилучення

k = 12 − 11 = 1

Відповідь

k = 1

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 8

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 8, C: 1

C (1): E: 6, G: 12

E (6): F: 8

B (8): D: 23

F (8): D: 18

G (12)

D (18)

Найкоротший шлях

A → C → E → F

d(F) = 8

Відповідь

d(F) = 8

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms