Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який алгоритм знаходить найкоротші шляхи з одного джерела в графі з невід'ємними вагами ребер?

  1. AУ всіх випадках потрібен алгоритм Беллмана–Форда
  2. BПошук у глибину (DFS)
  3. CАлгоритм Краскала
  4. DАлгоритм Дейкстри
2.Алгоритми та складністьСкладна

Найкоротші прості шляхи можна знайти за поліноміальний час. Що відомо про пошук найдовшого простого шляху між двома вершинами в загальному графі?

  1. AВона нерозв'язна
  2. BЇї завжди можна розв'язати за O(V + E)
  3. CЦе NP-складна задача
  4. DЇї можна розв'язати алгоритмом Дейкстри з від'ємними вагами
3.Структури данихСередня

Яка вартість вставлення елемента в середину масиву з n елементів?

  1. AO(log n) через бінарний пошук
  2. BO(n²), бо кожен елемент переміщується n разів
  3. CO(1), бо індекс відомий
  4. DO(n), бо наступні елементи доводиться зсувати
4.Структури данихСкладна

Структура union-find (система неперетинних множин) з об'єднанням за рангом і стисненням шляху має амортизовану вартість операції:

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CРівно O(log n)
  4. DO(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 16 вершин і 20 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 16|E| = 20
k =
6.Теорія графівСкладна
92135111512ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Алгоритм Дейкстри

Чому це відповідь

Алгоритм Дейкстри працює з невід'ємними вагами; алгоритм Беллмана–Форда допускає від'ємні ваги; алгоритм Краскала будує мінімальні кістякові дерева.

Відповідь

D · Алгоритм Дейкстри
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Це NP-складна задача

Чому це відповідь

Найдовший простий шлях довжиною V − 1 — це гамільтонів шлях, пошук якого є NP-повною задачею; утім, на орієнтованих ациклічних графах задача розв'язна за лінійний час.

Відповідь

C · Це NP-складна задача
3.Структури даних

Відповідь: D · O(n), бо наступні елементи доводиться зсувати

Чому це відповідь

Усі елементи після точки вставлення зсуваються на одну позицію праворуч, що займає час, пропорційний n.

Відповідь

D · O(n), бо наступні елементи доводиться зсувати
4.Структури даних

Відповідь: D · O(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала

Чому це відповідь

З обома оптимізаціями операції виконуються за амортизований час O(α(n)); α(n) ≤ 4 для будь-якого реалістичного n.

Відповідь

D · O(α(n)), обернена функція Аккермана, практично стала
5.Теорія графів

Відповідь: k = 5

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

16 − 1 = 15

Ребра для вилучення

k = 20 − 15 = 5

Відповідь

k = 5
6.Теорія графів

Відповідь: B

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 9, C: 2
2. C (2): E: 7
3. E (7): D: 18, F: 12
4. B (9)
5. F (12): D: 13
6. D (13)

раунд 4

B

Відповідь

B

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms