Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка амортизована часова складність додавання елемента в кінець динамічного масиву, який подвоює свою місткість у разі заповнення?

  1. AO(log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка з цих задач виконуваності, як відомо, розв'язна за поліноміальний час?

  1. A3-SAT, де кожен диз'юнкт має рівно три літерали
  2. BВиконуваність схем
  3. C2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали
  4. DЗагальна SAT для формул у кон'юнктивній нормальній формі
3.Структури данихСередня

Що відбувається, коли геш-таблиця виконує повторне гешування (rehash) після того, як коефіцієнт заповнення перевищив поріг?

  1. AВиділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову
  2. BЛише ключі з колізіями переміщуються в новий список переповнення в кінці таблиці
  3. CНаявні ключі сортуються на місці
  4. DНайстаріші ключі видаляються, щоб звільнити місце
4.Структури данихСкладна

Дерево відрізків (segment tree) зазвичай використовують для:

  1. AРеалізації стека
  2. BЗберігання ребер графа
  3. CВідповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)
  4. DСортування рядків за абеткою шляхом зберігання кожного префікса в окремому вузлі дерева
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K7? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K7
H =
6.Теорія графівСкладна
361215841545123ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(1)

Чому це відповідь

Копіювання всіх елементів відбувається лише на степенях двійки; якщо розподілити ці витрати на всі додавання, середня вартість одного додавання стала.

Відповідь

B · O(1)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · 2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали

Чому це відповідь

2-SAT належить до P (лінійний час через компоненти сильної зв'язності), тоді як 3-SAT є NP-повною.

Відповідь

C · 2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали
3.Структури даних

Відповідь: A · Виділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову

Чому це відповідь

Оскільки індекс обчислюється за модулем розміру таблиці, усі ключі треба повторно гешувати в нову, більшу таблицю; за подвоєння розміру це залишається O(1) амортизовано.

Відповідь

A · Виділяється більша таблиця, і кожен ключ вставляється знову
4.Структури даних

Відповідь: C · Відповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)

Чому це відповідь

Дерево відрізків зберігає агрегати для проміжків, підтримуючи запити на діапазонах і точкові оновлення за час O(log n).

Відповідь

C · Відповідей на запити на діапазонах (наприклад, суми діапазонів) та оновлень за O(log n)
5.Теорія графів

Відповідь: H = 360

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Відповідь

H = 360
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 15

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 3, C: 6
B (3): D: 18, G: 8
C (6): E: 14
G (8): E: 11
E (11): D: 15, F: 15
D (15)
F (15)

Найкоротший шлях

A → B → G → E → F
d(F) = 15

Відповідь

d(F) = 15

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms