Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що вимірює амортизований аналіз?

  1. AОчікувану вартість на випадкових вхідних даних
  2. BВартість алгоритму на найкращих вхідних даних
  3. CВартість однієї найдорожчої операції будь-де в послідовності
  4. DСередню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку
2.Алгоритми та складністьСкладна

Множення Карацуби задовольняє T(n) = 3T(n/2) + O(n). Який розв'язок?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(nlog₂ 3), близько n1,585
  4. DΘ(n log n)
3.Структури данихСередня

Чому обхід масиву на практиці часто значно швидший, ніж обхід зв'язного списку такої самої довжини?

  1. AЗв'язні списки завжди зберігають елементи на диску
  2. BЕлементи масиву розташовані суцільно, тож добре використовують кеш процесора
  3. CМасиви використовують менше інструкцій для порівняння значень
  4. DОбхід масиву загалом має складність O(1), а обхід зв'язного списку — O(n)
4.Структури данихСкладна

Який очікуваний час пошуку за простого рівномірного гешування в геш-таблиці з ланцюжками, n ключами та m кошиками?

  1. AO(n)
  2. BO(1 + α), де α = n / m
  3. CO(m)
  4. DO(log n)
5.Теорія графівСередня
ABCDEFЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 6|E| = 7
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
41141291152ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 3; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Середню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку

Чому це відповідь

Амортизований аналіз розподіляє вартість рідкісних дорогих операцій на багато дешевих, даючи гарантоване середнє для будь-якої послідовності.

Відповідь

D · Середню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Θ(nlog₂ 3), близько n1,585

Чому це відповідь

Оскільки log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, за основною теоремою домінують листки, що краще за шкільний метод O(n²).

Відповідь

C · Θ(nlog₂ 3), близько n1,585
3.Структури даних

Відповідь: B · Елементи масиву розташовані суцільно, тож добре використовують кеш процесора

Чому це відповідь

Суцільна пам'ять забезпечує добру локальність звертань, а зв'язані вузли можуть бути розкидані й спричиняти багато кеш-промахів.

Відповідь

B · Елементи масиву розташовані суцільно, тож добре використовують кеш процесора
4.Структури даних

Відповідь: B · O(1 + α), де α = n / m

Чому це відповідь

Обчислення гешу коштує O(1), а очікувана довжина ланцюжка — α, тож обмеження α через зміну розміру таблиці дає очікуваний час O(1).

Відповідь

B · O(1 + α), де α = n / m
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: E

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 4, C: 11
2. B (4): C: 8, D: 16, E: 6
3. E (6): F: 11
4. C (8)
5. F (11)
6. D (16)

раунд 3

E

Відповідь

E

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms