Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який алгоритм сортування є стійким?

  1. AСортування вибором (типова версія)
  2. BПірамідальне сортування
  3. CСортування злиттям
  4. DШвидке сортування (типова версія на місці)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка з цих задач виконуваності, як відомо, розв'язна за поліноміальний час?

  1. A3-SAT, де кожен диз'юнкт має рівно три літерали
  2. B2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали
  3. CВиконуваність схем
  4. DЗагальна SAT для формул у кон'юнктивній нормальній формі
3.Структури данихСередня

AVL-дерева та червоно-чорні дерева гарантують:

  1. AВисоту O(log n) завдяки перебалансуванню
  2. BЗберігання ключів у порядку вставлення
  3. CЩо жоден вузол не має двох дітей
  4. DПошук за сталий час у будь-якому випадку
4.Структури данихСкладна

Вставлення ключа в AVL-дерево робить ліве піддерево вузла надто високим, причому новий ключ потрапив у ліве піддерево його лівої дитини (випадок «ліво-ліво»). Яке виправлення застосовують?

  1. AПерефарбування вузла та його дитини
  2. BОдинарний правий поворот у незбалансованому вузлі
  3. CЛівий поворот у дитині, потім правий поворот у вузлі
  4. DОдинарний лівий поворот у незбалансованому вузлі
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 8 вершин і 12 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 8|E| = 12
k =
6.Теорія графівСкладна
ABCDEF

Скільки маршрутів довжиною 3 ведуть від D до A? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 3
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Сортування злиттям

Чому це відповідь

Сортування злиттям стійке, якщо за рівних ключів під час злиття спочатку береться елемент із лівої половини. Швидке сортування на місці, пірамідальне сортування й сортування вибором зазвичай не є стійкими.

Відповідь

C · Сортування злиттям
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · 2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали

Чому це відповідь

2-SAT належить до P (лінійний час через компоненти сильної зв'язності), тоді як 3-SAT є NP-повною.

Відповідь

B · 2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали
3.Структури даних

Відповідь: A · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню

Чому це відповідь

Самобалансовані дерева зберігають логарифмічну висоту, тому пошук, вставлення та видалення в найгіршому випадку мають складність O(log n).

Відповідь

A · Висоту O(log n) завдяки перебалансуванню
4.Структури даних

Відповідь: B · Одинарний правий поворот у незбалансованому вузлі

Чому це відповідь

У випадку «ліво-ліво» один правий поворот піднімає ліву дитину вгору й відновлює баланс; зигзагоподібні випадки потребують подвійного повороту.

Відповідь

B · Одинарний правий поворот у незбалансованому вузлі
5.Теорія графів

Відповідь: k = 5

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

8 − 1 = 7

Ребра для вилучення

k = 12 − 7 = 5

Відповідь

k = 5
6.Теорія графів

Відповідь: N = 1

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

Ще один крок

(M³)DA = 1·0 + 0·1 + 1·1 + 2·0 + 1·0 + 0·0 = 1

Відповідь

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms