Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка амортизована часова складність додавання елемента в кінець динамічного масиву, який подвоює свою місткість у разі заповнення?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому алгоритм Дейкстри може давати неправильні результати, коли деякі ваги ребер від'ємні?

  1. AВід'ємні числа неможливо зберігати в черзі з пріоритетами
  2. BВін працює лише на неорієнтованих графах
  3. CВершину остаточно фіксують під час вилучення, але пізніше від'ємне ребро ще може дати їй коротший шлях
  4. DВін зациклюється на кожному від'ємному ребрі
3.Структури данихСередня

Як працює extract-min у бінарній мін-купі?

  1. AШукають новий мінімум серед усіх листків
  2. BОстанній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
  3. CВидаляють корінь і зсувають усі елементи на одну позицію ліворуч
  4. DВидаляють останній елемент масиву
4.Структури данихСкладна

Як визначити, чи містить однозв'язний список цикл, використовуючи O(1) додаткової пам'яті?

  1. AВідсортувати список і шукати дублікати
  2. BРахувати вузли, доки кількість не перевищить поле довжини списку
  3. CРухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться
  4. DЗберігати кожен відвіданий вузол у геш-множині
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
151491569258ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(D) найкоротшого шляху від A до D у зваженому графі.

початок: Aкінець: D
d(D) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(1)

Чому це відповідь

Копіювання всіх елементів відбувається лише на степенях двійки; якщо розподілити ці витрати на всі додавання, середня вартість одного додавання стала.

Відповідь

A · O(1)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Вершину остаточно фіксують під час вилучення, але пізніше від'ємне ребро ще може дати їй коротший шлях

Чому це відповідь

Жадібний крок спирається на невід'ємні ваги, щоб вилучені відстані були остаточними; коли ваги можуть бути від'ємними, використовують Беллмана–Форда.

Відповідь

C · Вершину остаточно фіксують під час вилучення, але пізніше від'ємне ребро ще може дати їй коротший шлях
3.Структури даних

Відповідь: B · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз

Чому це відповідь

Останній елемент заповнює порожнє місце в корені й обмінюється з меншою дитиною, доки не виконується властивість купи, що займає O(log n).

Відповідь

B · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
4.Структури даних

Відповідь: C · Рухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться

Чому це відповідь

В алгоритмі Флойда за наявності циклу швидкий вказівник зрештою наздоганяє повільний; інакше швидкий вказівник досягає null.

Відповідь

C · Рухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Непарні вершини

A, B, C, E → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: d(D) = 27

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 15, C: 14
C (14): E: 20
B (15): D: 30
E (20): D: 29, F: 25
F (25): D: 27
D (27)

Найкоротший шлях

A → C → E → F → D
d(D) = 27

Відповідь

d(D) = 27

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms