Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому основу логарифма в «великому O» зазвичай не вказують, як-от в O(log n)?

  1. AУсі логарифми в інформатиці мають основу 10, тож вона мається на увазі
  2. BЛогарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
  3. CЛогарифми завжди округлюють до цілих
  4. DОснова має значення лише для малих n
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що встановила теорема Кука–Левіна?

  1. AP не дорівнює NP
  2. BЗадача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною
  3. CПроблема зупинки нерозв'язна
  4. DКожну задачу з NP можна розв'язати за експоненційний час
3.Структури данихСередня

Префіксне дерево (trie) особливо ефективне для:

  1. AПошуку найкоротших шляхів
  2. BЗберігання матриць
  3. CПошуку за префіксом, наприклад автодоповнення
  4. DСортування чисел
4.Структури данихСкладна

Яка структура дає змогу обчислити максимум кожного вікна розміру k у масиві за загальний час O(n)?

  1. AМін-купа, перебудована для кожного вікна
  2. BВідсортований масив, що оновлюється зсувом
  3. CДек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
  4. DОднозв'язний список елементів вікна
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 5
L =
6.Теорія графівСкладна
13201131497ABCDE

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником

Чому це відповідь

Зміна основи множить логарифм на сталу, а «велике O» ігнорує сталі множники.

Відповідь

B · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Задача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною

Чому це відповідь

Кук і Левін незалежно показали, що кожна задача з NP зводиться до SAT за поліноміальний час, тож SAT стала першою відомою NP-повною задачею.

Відповідь

B · Задача виконуваності булевих формул (SAT) є NP-повною
3.Структури даних

Відповідь: C · Пошуку за префіксом, наприклад автодоповнення

Чому це відповідь

Trie зберігає рядки посимвольно вздовж шляхів, тому пошук і запити за префіксом займають час, пропорційний довжині ключа.

Відповідь

C · Пошуку за префіксом, наприклад автодоповнення
4.Структури даних

Відповідь: C · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень

Чому це відповідь

Початок дека завжди є максимумом вікна; кожен індекс входить у дек і виходить із нього один раз, тож обсяг роботи лінійний.

Відповідь

C · Дек, що зберігає індекси в порядку спадання значень
5.Теорія графів

Відповідь: L = 8

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 10 = 2(L + 2) − 2
L = 8

Відповідь

L = 8

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 34

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

BD (3): взяти
BE (7): взяти
DE (9): пропустити, замикає цикл
BC (11): взяти
AB (13): взяти

Загальна вага

W = 3 + 7 + 11 + 13 = 34

Відповідь

W = 34

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms