Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка амортизована часова складність додавання елемента в кінець динамічного масиву, який подвоює свою місткість у разі заповнення?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(1)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Множення Карацуби задовольняє T(n) = 3T(n/2) + O(n). Який розв'язок?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(nlog₂ 3), близько n1,585
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(n²)
3.Структури данихСередня

Яку структуру даних використовує виконувана програма, щоб відстежувати активні виклики функцій та їхні локальні змінні?

  1. AБінарне дерево пошуку фреймів
  2. BЧергу пам'яті купи
  3. CСтек викликів
  4. DГеш-таблицю функцій
4.Структури данихСкладна

Який очікуваний час пошуку за простого рівномірного гешування в геш-таблиці з ланцюжками, n ключами та m кошиками?

  1. AO(n)
  2. BO(m)
  3. CO(1 + α), де α = n / m
  4. DO(log n)
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K4? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K4
H =
6.Теорія графівСкладна
1434213114115ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(D) найкоротшого шляху від A до D у зваженому графі.

початок: Aкінець: D
d(D) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(1)

Чому це відповідь

Копіювання всіх елементів відбувається лише на степенях двійки; якщо розподілити ці витрати на всі додавання, середня вартість одного додавання стала.

Відповідь

D · O(1)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Θ(nlog₂ 3), близько n1,585

Чому це відповідь

Оскільки log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, за основною теоремою домінують листки, що краще за шкільний метод O(n²).

Відповідь

B · Θ(nlog₂ 3), близько n1,585
3.Структури даних

Відповідь: C · Стек викликів

Чому це відповідь

Кожен виклик заносить у стек фрейм, а кожне повернення виймає його, тому найновіший виклик завершується першим.

Відповідь

C · Стек викликів
4.Структури даних

Відповідь: C · O(1 + α), де α = n / m

Чому це відповідь

Обчислення гешу коштує O(1), а очікувана довжина ланцюжка — α, тож обмеження α через зміну розміру таблиці дає очікуваний час O(1).

Відповідь

C · O(1 + α), де α = n / m
5.Теорія графів

Відповідь: H = 3

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Відповідь

H = 3
6.Теорія графів

Відповідь: d(D) = 18

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 14, C: 3
C (3): E: 5, G: 14
E (5): D: 18, F: 9
F (9)
B (14)
G (14)
D (18)

Найкоротший шлях

A → C → E → D
d(D) = 18

Відповідь

d(D) = 18

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms