Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Ви один раз сортуєте масив із n елементів, а потім відповідаєте на k запитів про належність бінарним пошуком. Яка загальна вартість?

  1. AO(n log n + k log n)
  2. BO(nk)
  3. CO(n + k)
  4. DO(k n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому пошук у геш-таблиці в середньому має складність O(1), а в найгіршому випадку — O(n)?

  1. AДоступ до масивів має складність O(n)
  2. BГеш-функції повільні
  3. CБагато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик
  4. DКлючі спершу потрібно відсортувати
3.Структури данихСередня

Яка вартість вставлення елемента в середину масиву з n елементів?

  1. AO(1), бо індекс відомий
  2. BO(n), бо наступні елементи доводиться зсувати
  3. CO(log n) через бінарний пошук
  4. DO(n²), бо кожен елемент переміщується n разів
4.Структури данихСкладна

Вузол AVL-дерева незбалансований, бо праве піддерево його лівої дитини стало надто високим (випадок «ліво-право»). Яке виправлення застосовують?

  1. AОдинарний правий поворот у вузлі
  2. BПравий поворот у лівій дитині, потім лівий поворот у вузлі
  3. CОдинарний лівий поворот у вузлі
  4. DЛівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
11135191520123ABCDEF

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n log n + k log n)

Чому це відповідь

Сортування коштує O(n log n), а кожен запит — O(log n); за великого k це краще, ніж k лінійних переглядів (O(nk)).

Відповідь

A · O(n log n + k log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Багато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик

Чому це відповідь

За доброї геш-функції та відповідного коефіцієнта заповнення кошики в середньому залишаються короткими; зловмисно підібрані дані або погане гешування можуть помістити всі ключі в один кошик.

Відповідь

C · Багато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик
3.Структури даних

Відповідь: B · O(n), бо наступні елементи доводиться зсувати

Чому це відповідь

Усі елементи після точки вставлення зсуваються на одну позицію праворуч, що займає час, пропорційний n.

Відповідь

B · O(n), бо наступні елементи доводиться зсувати
4.Структури даних

Відповідь: D · Лівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі

Чому це відповідь

Перший поворот перетворює випадок «ліво-право» на випадок «ліво-ліво», який потім виправляє правий поворот у незбалансованому вузлі.

Відповідь

D · Лівий поворот у лівій дитині, потім правий поворот у вузлі
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 1, deg(G) = 3

Непарні вершини

A, E, F, G → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: W = 50

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

BE (3): взяти
BC (5): взяти
AB (11): взяти
DF (12): взяти
AC (13): пропустити, замикає цикл
CE (15): пропустити, замикає цикл
BD (19): взяти

Загальна вага

W = 3 + 5 + 11 + 12 + 19 = 50

Відповідь

W = 50

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms