Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Скільки пам'яті стека використовує проста рекурсивна функція факторіала fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що треба зробити, щоб показати, що нова задача X є NP-складною?

  1. AЗвести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час
  2. BЗвести X до відомої NP-складної задачі за поліноміальний час
  3. CПоказати, що X не має поліноміального алгоритму для малих вхідних даних
  4. DПоказати, що X можна перевірити за поліноміальний час
3.Структури данихСередня

Симетричний обхід (in-order) бінарного дерева пошуку відвідує ключі:

  1. AУ порядку вставлення
  2. BУ порядку зростання (відсортовано)
  3. CЗавжди в порядку спадання
  4. DПо рівнях
4.Структури данихСкладна

Чому B-дерева використовують у базах даних і файлових системах?

  1. AВисокий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска
  2. BВони не потребують перебалансування
  3. CВони займають менше пам'яті, ніж будь-який масив, тож увесь індекс завжди вміщується в оперативній пам'яті
  4. DВони зберігають невідсортовані дані
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 3, 2 вершин степеня 4, 3 вершин степеня 5, 4 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 32 × deg 43 × deg 54 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
101317948ABCDE

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n)

Чому це відповідь

Рекурсія має глибину n викликів до першого повернення, і кожному виклику потрібен кадр стека, тож вона використовує O(n) пам'яті.

Відповідь

A · O(n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Звести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час

Чому це відповідь

Якщо відому складну задачу можна ефективно перетворити на X, то швидкий алгоритм для X розв'язав би й відому задачу.

Відповідь

A · Звести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: B · У порядку зростання (відсортовано)

Чому це відповідь

Відвідування лівого піддерева, потім вузла, потім правого піддерева виводить ключі BST у відсортованому порядку.

Відповідь

B · У порядку зростання (відсортовано)
4.Структури даних

Відповідь: A · Високий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска

Чому це відповідь

B-дерева зберігають багато ключів у вузлі, тому висота мала й на один пошук потрібно мало зчитувань блоків; B+ дерева також зв'язують листки для сканування діапазонів.

Відповідь

A · Високий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска
5.Теорія графів

Відповідь: L = 17

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 37 = 2(L + 11) − 2
L = 17

Відповідь

L = 17

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 22

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

BC (1): взяти
DE (4): взяти
BD (7): взяти
BE (8): пропустити, замикає цикл
CE (9): пропустити, замикає цикл
AB (10): взяти

Загальна вага

W = 1 + 4 + 7 + 10 = 22

Відповідь

W = 22

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms