Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(n²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Який прийом забезпечує очікуваний час роботи O(n log n) для швидкого сортування на будь-яких вхідних даних?

  1. AВибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом
  2. BСортування вхідних даних перед запуском швидкого сортування
  3. CЗастосування рекурсії лише до лівої частини
  4. DВибір завжди першого елемента
3.Структури данихСередня

Скільки пам'яті використовує список суміжності для графа з V вершинами та E ребрами?

  1. AO(E²)
  2. BO(V × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V²)
4.Структури данихСкладна

Чому зі стандартного фільтра Блума не можна просто видаляти елементи, очищаючи їхні біти?

  1. AФільтри Блума зберігають повні елементи, і після гешування їх неможливо знайти знову
  2. BЦі біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати
  3. CБіти у фільтрі Блума не можна змінювати після створення
  4. DВидалення підвищило б частку хибнопозитивних результатів до 100%
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 8 вершин і 16 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 8|E| = 16
k =
6.Теорія графівСкладна
262591152ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · O(n log n)

Чому це відповідь

Внутрішній цикл виконується близько log₂ n разів для кожної з n зовнішніх ітерацій, що дає O(n log n).

Відповідь

A · O(n log n)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Вибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом

Чому це відповідь

З випадковим опорним елементом очікуваний час роботи становить O(n log n) для будь-яких вхідних даних; погані випадки все ще можливі, але дуже малоймовірні.

Відповідь

A · Вибір опорного елемента випадково з рівномірним розподілом
3.Структури даних

Відповідь: C · O(V + E)

Чому це відповідь

Кожна вершина має список, а кожне ребро трапляється один раз (орієнтований граф) або двічі (неорієнтований), що дає O(V + E).

Відповідь

C · O(V + E)
4.Структури даних

Відповідь: B · Ці біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати

Чому це відповідь

Очищення спільного біта зробило б інший елемент нібито відсутнім; лічильні фільтри Блума замість бітів зберігають лічильники, щоб дозволити видалення.

Відповідь

B · Ці біти можуть належати й іншим елементам, що спричинило б хибнонегативні результати
5.Теорія графів

Відповідь: k = 9

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

8 − 1 = 7

Ребра для вилучення

k = 16 − 7 = 9

Відповідь

k = 9
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 9

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 2, C: 6
B (2): C: 4, D: 7, E: 4
C (4)
E (4): F: 9
D (7)
F (9)

Найкоротший шлях

A → B → E → F
d(F) = 9

Відповідь

d(F) = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms