Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність швидкого сортування (quicksort) у найгіршому випадку?

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(log n)
  4. DO(n log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

За основною теоремою (master theorem) розв'язком T(n) = 8T(n/2) + O(n²) є:

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n³)
  4. DΘ(n²)
3.Структури данихСередня

Яку структуру даних використовують, щоб перевірити, чи збалансовані дужки в «{[()]}»?

  1. AГеш-таблицю
  2. BЧергу
  3. CБінарне дерево пошуку
  4. DСтек
4.Структури данихСкладна

Як визначити, чи містить однозв'язний список цикл, використовуючи O(1) додаткової пам'яті?

  1. AРахувати вузли, доки кількість не перевищить поле довжини списку
  2. BРухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться
  3. CЗберігати кожен відвіданий вузол у геш-множині
  4. DВідсортувати список і шукати дублікати
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 14 вершин і 14 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 14|E| = 14
k =
6.Теорія графівСкладна
1716209719564ABCDEFG

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 7|E| = 9
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · O(n²)

Чому це відповідь

За постійно невдалого вибору опорних елементів (наприклад, уже відсортовані дані й перший елемент як опорний) розбиття незбалансовані, що дає O(n²). У середньому випадку складність становить O(n log n).

Відповідь

B · O(n²)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Θ(n³)

Чому це відповідь

log₂ 8 = 3, а n² зростає повільніше за n³, тому домінують листки: Θ(n³).

Відповідь

C · Θ(n³)
3.Структури даних

Відповідь: D · Стек

Чому це відповідь

Кожну відкривну дужку заносять у стек (push), а коли з'являється закривна, виймають (pop); вона має відповідати вийнятій дужці, а наприкінці стек має бути порожнім.

Відповідь

D · Стек
4.Структури даних

Відповідь: B · Рухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться

Чому це відповідь

В алгоритмі Флойда за наявності циклу швидкий вказівник зрештою наздоганяє повільний; інакше швидкий вказівник досягає null.

Відповідь

B · Рухати один вказівник на один крок, а інший — на два кроки й перевіряти, чи вони зустрінуться
5.Теорія графів

Відповідь: k = 1

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

14 − 1 = 13

Ребра для вилучення

k = 14 − 13 = 1

Відповідь

k = 1
6.Теорія графів

Відповідь: W = 55

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

GE (4): взяти
GC (5): взяти
GD (6): взяти
EF (7): взяти
DF (9): пропустити, замикає цикл
BD (16): взяти
AC (17): взяти

Загальна вага

W = 4 + 5 + 6 + 7 + 16 + 17 = 55

Відповідь

W = 55

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms