Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка часова складність стандартного алгоритму динамічного програмування для найдовшої спільної підпослідовності рядків довжиною m і n?

  1. AO(2m+n)
  2. BO(m + n)
  3. CO(mn)
  4. DO(mn log n)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Задача про рюкзак 0/1, розв'язана динамічним програмуванням, потребує O(nW) часу. Чому це називають псевдополіноміальним часом?

  1. AТому що він працює лише для W = 0
  2. BТому що n завжди мале
  3. CW — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W
  4. DТому що алгоритм рандомізований, а його час роботи змінюється для кожних вхідних даних
3.Структури данихСередня

Яку структуру даних використовують, щоб перевірити, чи збалансовані дужки в «{[()]}»?

  1. AГеш-таблицю
  2. BБінарне дерево пошуку
  3. CЧергу
  4. DСтек
4.Структури данихСкладна

Який час роботи пошуку в ширину (BFS) у графі з V вершинами, що зберігається як матриця суміжності?

  1. AO(V + E)
  2. BO(V)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V²)
5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 44 × deg 5
L =
6.Теорія графівСкладна
1012151318251116ABCDEFG

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 2; пропущені ребра не враховуються.

k = 2
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро DE
  6. 6ребро DF
  7. 7ребро EF
  8. 8ребро GB
  9. 9ребро GC
  10. 10ребро GD

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(mn)

Чому це відповідь

Таблиця має (m + 1)(n + 1) клітинок, і кожна обчислюється за O(1) із сусідніх.

Відповідь

C · O(mn)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · W — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W

Чому це відповідь

Час роботи поліноміальний відносно значення W, але експоненційний відносно його довжини (log W бітів); задача про рюкзак 0/1 є NP-повною.

Відповідь

C · W — число, тому час експоненційний відносно кількості бітів, використаних для запису W
3.Структури даних

Відповідь: D · Стек

Чому це відповідь

Кожну відкривну дужку заносять у стек (push), а коли з'являється закривна, виймають (pop); вона має відповідати вийнятій дужці, а наприкінці стек має бути порожнім.

Відповідь

D · Стек
4.Структури даних

Відповідь: D · O(V²)

Чому це відповідь

Кожна з V вершин переглядає рядок із V елементів, що дає O(V²); зі списками суміжності BFS має складність O(V + E).

Відповідь

D · O(V²)
5.Теорія графів

Відповідь: L = 18

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 28 = 2(L + 6) − 2
L = 18

Відповідь

L = 18

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: ребро EF

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. BD (1)
2. EF (2)
3. DE (3)
4. GB (5)
5. AB (10)
6. GC (11)

номер ребра 2

EF

Відповідь

ребро EF

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms