Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Що вимірює амортизований аналіз?

  1. AСередню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку
  2. BВартість однієї найдорожчої операції будь-де в послідовності
  3. CОчікувану вартість на випадкових вхідних даних
  4. DВартість алгоритму на найкращих вхідних даних
2.Алгоритми та складністьСкладна

Які часові та просторові витрати обчислення n-го числа Фібоначчі циклом, що зберігає лише два останні значення?

  1. AO(2ⁿ) часу та O(1) пам'яті
  2. BO(log n) часу та O(n) пам'яті
  3. CO(n) часу та O(n) пам'яті
  4. DO(n) часу та O(1) пам'яті
3.Структури данихСередня

Яка вартість вставлення елемента в середину масиву з n елементів?

  1. AO(log n) через бінарний пошук
  2. BO(n²), бо кожен елемент переміщується n разів
  3. CO(n), бо наступні елементи доводиться зсувати
  4. DO(1), бо індекс відомий
4.Структури данихСкладна

У BST з коренем 50, лівим піддеревом 30 (діти 20, 40) і правим піддеревом 70 (діти 60, 80) корінь видаляють за допомогою наступника в симетричному порядку. Який ключ стає новим коренем?

  1. A70
  2. B40
  3. C80
  4. D60
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 18 вершин і 18 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 18|E| = 18
k =
6.Теорія графівСкладна
ABCDE

Скільки маршрутів довжиною 2 ведуть від A до B? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Середню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку

Чому це відповідь

Амортизований аналіз розподіляє вартість рідкісних дорогих операцій на багато дешевих, даючи гарантоване середнє для будь-якої послідовності.

Відповідь

A · Середню вартість операції на послідовності операцій у найгіршому випадку
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n) часу та O(1) пам'яті

Чому це відповідь

Кожному крокові потрібні лише два попередні значення, тож таблицю методу «знизу вгору» можна замінити двома змінними.

Відповідь

D · O(n) часу та O(1) пам'яті
3.Структури даних

Відповідь: C · O(n), бо наступні елементи доводиться зсувати

Чому це відповідь

Усі елементи після точки вставлення зсуваються на одну позицію праворуч, що займає час, пропорційний n.

Відповідь

C · O(n), бо наступні елементи доводиться зсувати
4.Структури даних

Відповідь: D · 60

Чому це відповідь

Крайній лівий вузол правого піддерева — 60, тож 60 замінює 50, а його попередня позиція видаляється; використання попередника дало б 40.

Відповідь

D · 60
5.Теорія графів

Відповідь: k = 1

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

18 − 1 = 17

Ребра для вилучення

k = 18 − 17 = 1

Відповідь

k = 1
6.Теорія графів

Відповідь: N = 1

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 0 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 0 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Спільні сусіди

(M²)AB = 0·1 + 1·0 + 1·1 + 0·0 + 0·1 = 1

Відповідь

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms