Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Пошук у ширину в незваженому графі знаходить:

  1. AТопологічний порядок у будь-якому графі
  2. BМінімальне кістякове дерево
  3. CНайкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини
  4. DНайкоротші шляхи в графах, що містять ребра з від'ємними вагами
2.Алгоритми та складністьСкладна

Що треба зробити, щоб показати, що нова задача X є NP-складною?

  1. AЗвести X до відомої NP-складної задачі за поліноміальний час
  2. BПоказати, що X можна перевірити за поліноміальний час
  3. CЗвести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час
  4. DПоказати, що X не має поліноміального алгоритму для малих вхідних даних
3.Структури данихСередня

Яку умову збалансованості AVL-дерево підтримує в кожному вузлі?

  1. AОбидва піддерева кожного вузла містять рівно однакову кількість вузлів
  2. BВисоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1
  3. CУсі листки розташовані рівно на однаковій глибині
  4. DКожен вузол пофарбовано в червоний або чорний колір
4.Структури данихСкладна

Чому B-дерева використовують у базах даних і файлових системах?

  1. AВисокий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска
  2. BВони зберігають невідсортовані дані
  3. CВони не потребують перебалансування
  4. DВони займають менше пам'яті, ніж будь-який масив, тож увесь індекс завжди вміщується в оперативній пам'яті
5.Теорія графівСередня
ABCDEFGЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
ABCDE

Скільки маршрутів довжиною 3 ведуть від B до A? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 3
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини

Чому це відповідь

BFS відвідує вершини в порядку відстані (у ребрах) від джерела, тому знаходить найкоротші шляхи в незваженому графі за O(V + E).

Відповідь

C · Найкоротші шляхи (за кількістю ребер) від початкової вершини
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Звести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час

Чому це відповідь

Якщо відому складну задачу можна ефективно перетворити на X, то швидкий алгоритм для X розв'язав би й відому задачу.

Відповідь

C · Звести відому NP-складну задачу до X за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: B · Висоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1

Чому це відповідь

Коефіцієнт збалансованості (висота лівого − висота правого) має дорівнювати −1, 0 або 1; повороти відновлюють його після вставлень і видалень.

Відповідь

B · Висоти лівого та правого піддерев відрізняються щонайбільше на 1
4.Структури даних

Відповідь: A · Високий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска

Чому це відповідь

B-дерева зберігають багато ключів у вузлі, тому висота мала й на один пошук потрібно мало зчитувань блоків; B+ дерева також зв'язують листки для сканування діапазонів.

Відповідь

A · Високий коефіцієнт розгалуження робить дерево неглибоким і зменшує кількість повільних зчитувань із диска
5.Теорія графів

Відповідь: жодна з цих

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 3, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

Непарні вершини

A, B, C, E → 4
жодна з цих

Відповідь

жодна з цих
6.Теорія графів

Відповідь: N = 4

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 0 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Ще один крок

(M³)BA = 0·0 + 4·1 + 1·0 + 1·0 + 2·0 = 4

Відповідь

N = 4

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms