Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому багато бібліотечних процедур сортування переходять на сортування вставками для дуже малих підмасивів?

  1. AСортування вставками використовує менше пам'яті, ніж будь-який інший алгоритм сортування, на великих даних
  2. BРекурсивні алгоритми не можуть обробляти масиви менші за 10 елементів
  3. CСортування вставками має складність O(n log n) у найгіршому випадку
  4. DСортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних
2.Алгоритми та складністьСкладна

Алгоритм Штрассена множить матриці, використовуючи 7 замість 8 рекурсивних множень блоків половинного розміру. Який його час виконання?

  1. AΘ(nlog₂ 7), близько n2,81
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n2)
  4. DΘ(n² log n)
3.Структури данихСередня

Яка вартість вставлення елемента в середину масиву з n елементів?

  1. AO(n), бо наступні елементи доводиться зсувати
  2. BO(log n) через бінарний пошук
  3. CO(n²), бо кожен елемент переміщується n разів
  4. DO(1), бо індекс відомий
4.Структури данихСкладна

Об'єкт зберігається як ключ у геш-відображенні (hash map), а потім змінюється поле, яке використовує його геш-функція. Який імовірний результат?

  1. AВідображення видає помилку в момент зміни поля
  2. BВідображення автоматично переміщує ключ у новий кошик
  3. CПошук об'єкта може не вдатися, бо він лежить у кошику для свого старого гешу
  4. DНічого не змінюється, бо геш ключа обчислюється лише раз, коли програма запускається
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 44 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
3717181016199ABCDEF

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних

Чому це відповідь

Для малих n простий цикл сортування вставками перевершує накладні витрати рекурсії швидкого сортування чи сортування злиттям, хоча воно й O(n²).

Відповідь

D · Сортування вставками має малі накладні витрати й швидке на малих або майже відсортованих даних
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Θ(nlog₂ 7), близько n2,81

Чому це відповідь

За a = 7 і b = 2 nlog₂ 7 домінує над роботою додавання O(n²), що дає близько n2,81.

Відповідь

A · Θ(nlog₂ 7), близько n2,81
3.Структури даних

Відповідь: A · O(n), бо наступні елементи доводиться зсувати

Чому це відповідь

Усі елементи після точки вставлення зсуваються на одну позицію праворуч, що займає час, пропорційний n.

Відповідь

A · O(n), бо наступні елементи доводиться зсувати
4.Структури даних

Відповідь: C · Пошук об'єкта може не вдатися, бо він лежить у кошику для свого старого гешу

Чому це відповідь

Розташування ключа обрано за його старим гешем; з новим гешем пошук іде не в тому кошику, тому ключі мають бути незмінними.

Відповідь

C · Пошук об'єкта може не вдатися, бо він лежить у кошику для свого старого гешу
5.Теорія графів

Відповідь: L = 10

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 24 = 2(L + 8) − 2
L = 10

Відповідь

L = 10

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: W = 53

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

AB (3): взяти
AC (7): взяти
BE (9): взяти
CE (10): пропустити, замикає цикл
DF (16): взяти
BC (17): пропустити, замикає цикл
BD (18): взяти

Загальна вага

W = 3 + 7 + 9 + 16 + 18 = 53

Відповідь

W = 53

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms