Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чи правильно казати, що алгоритм O(n²) є також O(n³)?

  1. AНі, бо «велике O» завжди має вказувати точну швидкість зростання функції
  2. BТак, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
  3. CНі, бо для великих n n³ менше за n²
  4. DТак, але лише якщо n менше за 100
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка часова складність: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) виконати роботу O(1)?

  1. AO(n)
  2. BO(n √n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
3.Структури данихСередня

Чому обхід масиву на практиці часто значно швидший, ніж обхід зв'язного списку такої самої довжини?

  1. AМасиви використовують менше інструкцій для порівняння значень
  2. BЗв'язні списки завжди зберігають елементи на диску
  3. CОбхід масиву загалом має складність O(1), а обхід зв'язного списку — O(n)
  4. DЕлементи масиву розташовані суцільно, тож добре використовують кеш процесора
4.Структури данихСкладна

Які витрати часу й додаткової пам'яті на обернення однозв'язного списку на місці?

  1. AO(n) часу та O(n) додаткової пам'яті
  2. BO(n log n) часу та O(1) додаткової пам'яті
  3. CO(1) часу та O(1) додаткової пам'яті
  4. DO(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K5? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K5
H =
6.Теорія графівСкладна
102155131493ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(C) найкоротшого шляху від A до C у зваженому графі.

початок: Aкінець: C
d(C) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³

Чому це відповідь

«Велике O» — верхня межа, тож твердження правильне, але не точне; Θ(n²) задає точну швидкість зростання.

Відповідь

B · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(n log n)

Чому це відповідь

Загалом n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, а гармонічне число Hn є Θ(log n).

Відповідь

D · O(n log n)
3.Структури даних

Відповідь: D · Елементи масиву розташовані суцільно, тож добре використовують кеш процесора

Чому це відповідь

Суцільна пам'ять забезпечує добру локальність звертань, а зв'язані вузли можуть бути розкидані й спричиняти багато кеш-промахів.

Відповідь

D · Елементи масиву розташовані суцільно, тож добре використовують кеш процесора
4.Структури даних

Відповідь: D · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті

Чому це відповідь

Три вказівники (попередній, поточний, наступний) дають змогу обернути кожне посилання за один прохід, не виділяючи нових вузлів.

Відповідь

D · O(n) часу та O(1) додаткової пам'яті
5.Теорія графів

Відповідь: H = 12

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Відповідь

H = 12
6.Теорія графів

Відповідь: d(C) = 12

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 10
B (10): C: 12, D: 25, E: 13
C (12)
E (13): F: 22
F (22)
D (25)

Найкоротший шлях

A → B → C
d(C) = 12

Відповідь

d(C) = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms