Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Швидке сортування завжди бере опорним перший елемент. На яких вхідних даних воно демонструє поведінку найгіршого випадку?

  1. AНа масиві у випадковому порядку
  2. BНа вже відсортованому масиві
  3. CНа масиві довжини 2
  4. DНа масиві, всі елементи якого різні
2.Алгоритми та складністьСкладна

Задача є NP-повною, якщо вона:

  1. AНалежить до NP і будь-яка задача з NP зводиться до неї за поліноміальний час
  2. BЛежить поза NP, але складніша за всі задачі NP, як-от проблема зупинки
  3. CРозв'язна за поліноміальний час
  4. DНерозв'язна
3.Структури данихСередня

Як працює extract-min у бінарній мін-купі?

  1. AШукають новий мінімум серед усіх листків
  2. BВидаляють останній елемент масиву
  3. CВидаляють корінь і зсувають усі елементи на одну позицію ліворуч
  4. DОстанній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
4.Структури данихСкладна

Яка структура даних забезпечує кеш LRU (least recently used) з операціями get і put за O(1)?

  1. AГеш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком
  2. BЛише бінарне дерево пошуку
  3. CОдин відсортований масив
  4. DЛише стек
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
413381121314ABCDEF

Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 4; сама A — це раунд 1.

початок: Aраунд 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · На вже відсортованому масиві

Чому це відповідь

На відсортованих даних опорний елемент завжди мінімальний, тож одна частина порожня, а інша має n − 1 елементів, що дає O(n²).

Відповідь

B · На вже відсортованому масиві
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Належить до NP і будь-яка задача з NP зводиться до неї за поліноміальний час

Чому це відповідь

NP-повні задачі — найскладніші в NP; поліноміальний алгоритм для однієї з них дав би поліноміальний алгоритм для всього класу NP.

Відповідь

A · Належить до NP і будь-яка задача з NP зводиться до неї за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: D · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз

Чому це відповідь

Останній елемент заповнює порожнє місце в корені й обмінюється з меншою дитиною, доки не виконується властивість купи, що займає O(log n).

Відповідь

D · Останній елемент переміщують у корінь і просіюють униз
4.Структури даних

Відповідь: A · Геш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком

Чому це відповідь

Геш-мапа знаходить вузли за O(1), а двозв'язний список переміщує використані елементи на початок і видаляє з кінця за O(1).

Відповідь

A · Геш-мапа в поєднанні з двозв'язним списком
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: D

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

1. A (0): B: 4, C: 13
2. B (4): C: 7, D: 12, E: 18
3. C (7)
4. D (12): E: 13, F: 24
5. E (13)
6. F (24)

раунд 4

D

Відповідь

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms