Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чому основу логарифма в «великому O» зазвичай не вказують, як-от в O(log n)?

  1. AОснова має значення лише для малих n
  2. BЛогарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
  3. CУсі логарифми в інформатиці мають основу 10, тож вона мається на увазі
  4. DЛогарифми завжди округлюють до цілих
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка різниця між нерозв'язною задачею та практично нерозв'язною?

  1. AНерозв'язні задачі належать до NP, а практично нерозв'язні — до P
  2. BДля нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний
  3. CПрактично нерозв'язні задачі не може розв'язати жоден алгоритм, а нерозв'язні лише потребують експоненційного часу
  4. DОбидва терміни означають, що задача взагалі не має алгоритму
3.Структури данихСередня

Яка часова складність пошуку ключа в збалансованому бінарному дереві пошуку?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
4.Структури данихСкладна

Скільки триває пошук довільного ключа в бінарній мін-купі з n елементів?

  1. AO(log log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n)
  4. DO(1)
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 19 вершин і 24 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 19|E| = 24
k =
6.Теорія графівСкладна
10369148512132ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником

Чому це відповідь

Зміна основи множить логарифм на сталу, а «велике O» ігнорує сталі множники.

Відповідь

B · Логарифми з різними основами відрізняються лише сталим множником
2.Алгоритми та складність

Відповідь: B · Для нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний

Чому це відповідь

Проблема зупинки взагалі не має алгоритму; NP-складну задачу, як-от TSP, можна розв'язати повним перебором, просто не за відомий поліноміальний час.

Відповідь

B · Для нерозв'язної задачі немає алгоритму для всіх вхідних даних; для практично нерозв'язної він є, але надто повільний
3.Структури даних

Відповідь: D · O(log n)

Чому це відповідь

Збалансоване дерево має висоту близько log₂ n, тому пошук проходить одним шляхом від кореня до листка.

Відповідь

D · O(log n)
4.Структури даних

Відповідь: C · O(n)

Чому це відповідь

Купа не дає правила, яке піддерево містить ключ, тож у найгіршому випадку треба перевірити всі вузли; швидко знаходиться лише мінімум.

Відповідь

C · O(n)
5.Теорія графів

Відповідь: k = 6

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

19 − 1 = 18

Ребра для вилучення

k = 24 − 18 = 6

Відповідь

k = 6
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 23

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 10, C: 3
C (3): B: 9, G: 16
B (9): D: 18
G (16): E: 18
D (18): F: 26
E (18): F: 23
F (23)

Найкоротший шлях

A → C → G → E → F
d(F) = 23

Відповідь

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms