Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Чи правильно казати, що алгоритм O(n²) є також O(n³)?

  1. AТак, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
  2. BНі, бо «велике O» завжди має вказувати точну швидкість зростання функції
  3. CТак, але лише якщо n менше за 100
  4. DНі, бо для великих n n³ менше за n²
2.Алгоритми та складністьСкладна

Задача є NP-повною, якщо вона:

  1. AНерозв'язна
  2. BЛежить поза NP, але складніша за всі задачі NP, як-от проблема зупинки
  3. CНалежить до NP і будь-яка задача з NP зводиться до неї за поліноміальний час
  4. DРозв'язна за поліноміальний час
3.Структури данихСередня

Симетричний обхід (in-order) бінарного дерева пошуку відвідує ключі:

  1. AУ порядку вставлення
  2. BЗавжди в порядку спадання
  3. CУ порядку зростання (відсортовано)
  4. DПо рівнях
4.Структури данихСкладна

Яка властивість підтримує кожне B-дерево ідеально збалансованим?

  1. AКлючі зберігаються лише в корені
  2. BУсі листки розташовані на однаковій глибині
  3. CКожен вузол має рівно двох дітей
  4. DКожен вузол зберігає один ключ
5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 4, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 4
L =
6.Теорія графівСкладна
1146116134121322ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³

Чому це відповідь

«Велике O» — верхня межа, тож твердження правильне, але не точне; Θ(n²) задає точну швидкість зростання.

Відповідь

A · Так, бо «велике O» — верхня межа, а n² зростає не швидше, ніж n³
2.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Належить до NP і будь-яка задача з NP зводиться до неї за поліноміальний час

Чому це відповідь

NP-повні задачі — найскладніші в NP; поліноміальний алгоритм для однієї з них дав би поліноміальний алгоритм для всього класу NP.

Відповідь

C · Належить до NP і будь-яка задача з NP зводиться до неї за поліноміальний час
3.Структури даних

Відповідь: C · У порядку зростання (відсортовано)

Чому це відповідь

Відвідування лівого піддерева, потім вузла, потім правого піддерева виводить ключі BST у відсортованому порядку.

Відповідь

C · У порядку зростання (відсортовано)
4.Структури даних

Відповідь: B · Усі листки розташовані на однаковій глибині

Чому це відповідь

Заповнені вузли розщеплюються вгору, а дерево стає вищим лише тоді, коли розщеплюється корінь, тож усі листки завжди залишаються на одному рівні.

Відповідь

B · Усі листки розташовані на однаковій глибині
5.Теорія графів

Відповідь: L = 10

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 16 = 2(L + 4) − 2
L = 10

Відповідь

L = 10

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 16

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 1, C: 14
B (1): C: 7, D: 12, G: 14
C (7): E: 13
D (12): F: 16
E (13)
G (14)
F (16)

Найкоротший шлях

A → B → D → F
d(F) = 16

Відповідь

d(F) = 16

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms