Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яке жадібне правило в задачі про вибір заявок (activity selection) завжди дає максимальну кількість заявок, що не перекриваються?

  1. AОбрати заявку, що починається найраніше
  2. BСпершу обрати найкоротшу заявку
  3. CСпершу обрати заявку з найменшою кількістю перекриттів, а потім повторити із сумісними
  4. DОбрати заявку, що закінчується найраніше, а потім повторити із сумісними
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка амортизована вартість інкременту двійкового лічильника, якщо один інкремент може змінити багато бітів?

  1. AO(n) на інкремент
  2. BO(n log n) на інкремент
  3. CO(log n) на інкремент
  4. DO(1) на інкремент
3.Структури данихСередня

Яка часова складність пошуку ключа в збалансованому бінарному дереві пошуку?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1)
4.Структури данихСкладна

Яка властивість підтримує кожне B-дерево ідеально збалансованим?

  1. AУсі листки розташовані на однаковій глибині
  2. BКожен вузол має рівно двох дітей
  3. CКожен вузол зберігає один ключ
  4. DКлючі зберігаються лише в корені
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 17 вершин і 18 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 17|E| = 18
k =
6.Теорія графівСкладна
ABCDE

Скільки маршрутів довжиною 3 ведуть від D до B? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 3
N =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Обрати заявку, що закінчується найраніше, а потім повторити із сумісними

Чому це відповідь

Оптимальність вибору за найранішим часом завершення можна довести аргументом обміну; для інших правил існують контрприклади.

Відповідь

D · Обрати заявку, що закінчується найраніше, а потім повторити із сумісними
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · O(1) на інкремент

Чому це відповідь

За n інкрементів біт i змінюється близько n / 2ⁱ разів, тож загалом менше ніж 2n змін — у середньому O(1) на кожен.

Відповідь

D · O(1) на інкремент
3.Структури даних

Відповідь: C · O(log n)

Чому це відповідь

Збалансоване дерево має висоту близько log₂ n, тому пошук проходить одним шляхом від кореня до листка.

Відповідь

C · O(log n)
4.Структури даних

Відповідь: A · Усі листки розташовані на однаковій глибині

Чому це відповідь

Заповнені вузли розщеплюються вгору, а дерево стає вищим лише тоді, коли розщеплюється корінь, тож усі листки завжди залишаються на одному рівні.

Відповідь

A · Усі листки розташовані на однаковій глибині
5.Теорія графів

Відповідь: k = 2

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

17 − 1 = 16

Ребра для вилучення

k = 18 − 16 = 2

Відповідь

k = 2
6.Теорія графів

Відповідь: N = 5

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Ще один крок

(M³)DB = 1·1 + 0·0 + 2·1 + 2·1 + 0·0 = 5

Відповідь

N = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms