Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Яка амортизована часова складність додавання елемента в кінець динамічного масиву, який подвоює свою місткість у разі заповнення?

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n²)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яка з цих задач виконуваності, як відомо, розв'язна за поліноміальний час?

  1. A3-SAT, де кожен диз'юнкт має рівно три літерали
  2. BВиконуваність схем
  3. CЗагальна SAT для формул у кон'юнктивній нормальній формі
  4. D2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали
3.Структури данихСередня

Бінарне дерево має корінь 1 з лівою дитиною 2 і правою дитиною 3; вузол 2 має дітей 4 (ліва) і 5 (права). Який прямий обхід (preorder)?

  1. A4 2 5 1 3
  2. B1 2 3 4 5
  3. C1 2 4 5 3
  4. D4 5 2 3 1
4.Структури данихСкладна

Ключі 5, 3, 8, 1 вставляють у такому порядку в порожню бінарну мін-купу на основі масиву. Який остаточний масив?

  1. A[1, 3, 5, 8]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[3, 1, 8, 5]
  4. D[1, 3, 8, 5]
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
14184810591122019ABCDEFG

Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.

|V| = 7|E| = 11
W =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · O(1)

Чому це відповідь

Копіювання всіх елементів відбувається лише на степенях двійки; якщо розподілити ці витрати на всі додавання, середня вартість одного додавання стала.

Відповідь

C · O(1)
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · 2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали

Чому це відповідь

2-SAT належить до P (лінійний час через компоненти сильної зв'язності), тоді як 3-SAT є NP-повною.

Відповідь

D · 2-SAT, де кожен диз'юнкт має щонайбільше два літерали
3.Структури даних

Відповідь: C · 1 2 4 5 3

Чому це відповідь

Прямий обхід відвідує 1, потім його ліве піддерево (2, 4, 5), потім 3; інші варіанти — симетричний, зворотний обхід і обхід по рівнях.

Відповідь

C · 1 2 4 5 3
4.Структури даних

Відповідь: D · [1, 3, 8, 5]

Чому це відповідь

Після 5, 3, 8 масив — [3, 5, 8]; 1 потрапляє в індекс 3, обмінюється з батьком 5, а потім із 3, що дає [1, 3, 8, 5].

Відповідь

D · [1, 3, 8, 5]
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: W = 42

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

GC (2): взяти
BC (4): взяти
DF (5): взяти
BD (8): взяти
EF (9): взяти
DE (10): пропустити, замикає цикл
GB (11): пропустити, замикає цикл
AB (14): взяти

Загальна вага

W = 2 + 4 + 5 + 8 + 9 + 14 = 42

Відповідь

W = 42

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms