Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який алгоритм знаходить найкоротші шляхи з одного джерела в графі з невід'ємними вагами ребер?

  1. AАлгоритм Дейкстри
  2. BПошук у глибину (DFS)
  3. CУ всіх випадках потрібен алгоритм Беллмана–Форда
  4. DАлгоритм Краскала
2.Алгоритми та складністьСкладна

Чому пошук у геш-таблиці в середньому має складність O(1), а в найгіршому випадку — O(n)?

  1. AДоступ до масивів має складність O(n)
  2. BГеш-функції повільні
  3. CКлючі спершу потрібно відсортувати
  4. DБагато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик
3.Структури данихСередня

Ви маєте посилання на вузол у середині списку. У якому списку його можна видалити за O(1)?

  1. AВ однозв'язному списку
  2. BУ відсортованому масиві
  3. CУ двозв'язному списку
  4. DУ динамічному масиві
4.Структури данихСкладна

Яка пара обходів завжди однозначно визначає бінарне дерево з різними ключами?

  1. AПрямий і зворотний обходи
  2. BЛише обхід по рівнях
  3. CЛише прямий обхід
  4. DПрямий і симетричний обходи
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 19 вершин і 28 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 19|E| = 28
k =
6.Теорія графівСкладна
91511911145ABCDE

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4; пропущені ребра не враховуються.

k = 4
  1. 1ребро AB
  2. 2ребро AC
  3. 3ребро BC
  4. 4ребро BD
  5. 5ребро CE
  6. 6ребро DE
  7. 7ребро BE

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Алгоритм Дейкстри

Чому це відповідь

Алгоритм Дейкстри працює з невід'ємними вагами; алгоритм Беллмана–Форда допускає від'ємні ваги; алгоритм Краскала будує мінімальні кістякові дерева.

Відповідь

A · Алгоритм Дейкстри
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Багато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик

Чому це відповідь

За доброї геш-функції та відповідного коефіцієнта заповнення кошики в середньому залишаються короткими; зловмисно підібрані дані або погане гешування можуть помістити всі ключі в один кошик.

Відповідь

D · Багато ключів через колізії можуть потрапити в один і той самий кошик
3.Структури даних

Відповідь: C · У двозв'язному списку

Чому це відповідь

Вузол двозв'язного списку знає свого попередника, тож можна безпосередньо перев'язати prev і next; в однозв'язному списку попередника доводиться шукати.

Відповідь

C · У двозв'язному списку
4.Структури даних

Відповідь: D · Прямий і симетричний обходи

Чому це відповідь

Прямий обхід дає корінь, а його позиція в симетричній послідовності розділяє ліве й праве піддерева; прямий обхід разом зі зворотним неоднозначний, коли вузол має одну дитину.

Відповідь

D · Прямий і симетричний обходи
5.Теорія графів

Відповідь: k = 10

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

19 − 1 = 18

Ребра для вилучення

k = 28 − 18 = 10

Відповідь

k = 10
6.Теорія графів

Відповідь: ребро DE

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. BC (1)
2. BE (5)
3. AB (9)
4. DE (14)

номер ребра 4

DE

Відповідь

ребро DE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms