Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Який алгоритм сортування є стійким?

  1. AПірамідальне сортування
  2. BШвидке сортування (типова версія на місці)
  3. CСортування злиттям
  4. DСортування вибором (типова версія)
2.Алгоритми та складністьСкладна

Яке твердження про вибір k-го найменшого елемента невідсортованого масиву правильне?

  1. AВибір завжди потребує Ω(n log n), бо вимагає сортування
  2. BВибір можливий лише за O(n²)
  3. CQuickselect працює за O(log n) у найгіршому випадку, бо рекурсивно переходить лише в один бік від опорного елемента
  4. DQuickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку
3.Структури данихСередня

Префіксне дерево (trie) особливо ефективне для:

  1. AСортування чисел
  2. BПошуку за префіксом, наприклад автодоповнення
  3. CПошуку найкоротших шляхів
  4. DЗберігання матриць
4.Структури данихСкладна

Видалення вузла з двома дітьми з бінарного дерева пошуку зазвичай виконують так:

  1. AМіняють його місцями з коренем
  2. BЗамінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
  3. CПеребудовують піддерево під ним з нуля й повторно вставляють усі ключі, які воно містило
  4. DВидаляють усе піддерево
5.Теорія графівСередня
ABCDEЕйлерів циклЕйлерів шлях, не циклжодна з цих

Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Ейлерів цикл
  2. 2Ейлерів шлях, не цикл
  3. 3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
83461015114ABCDEF

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Сортування злиттям

Чому це відповідь

Сортування злиттям стійке, якщо за рівних ключів під час злиття спочатку береться елемент із лівої половини. Швидке сортування на місці, пірамідальне сортування й сортування вибором зазвичай не є стійкими.

Відповідь

C · Сортування злиттям
2.Алгоритми та складність

Відповідь: D · Quickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку

Чому це відповідь

Очікувана робота quickselect із випадковими опорними елементами — n + n/2 + n/4 + ... = O(n); вибір опорного елемента як медіани медіан робить найгірший випадок лінійним.

Відповідь

D · Quickselect працює за очікуваний час O(n), а метод медіани медіан гарантує O(n) у найгіршому випадку
3.Структури даних

Відповідь: B · Пошуку за префіксом, наприклад автодоповнення

Чому це відповідь

Trie зберігає рядки посимвольно вздовж шляхів, тому пошук і запити за префіксом займають час, пропорційний довжині ключа.

Відповідь

B · Пошуку за префіксом, наприклад автодоповнення
4.Структури даних

Відповідь: B · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол

Чому це відповідь

In-order наступник має щонайбільше одну дитину, тому його легко видалити після копіювання його ключа у вузол, що видаляється.

Відповідь

B · Замінюють його in-order наступником (або попередником) і видаляють той вузол
5.Теорія графів

Відповідь: Ейлерів цикл

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Степені

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Непарні вершини

0
Ейлерів цикл

Відповідь

Ейлерів цикл
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 25

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): C: 8
C (8): B: 11, E: 14
B (11): D: 15
E (14): F: 25
D (15)
F (25)

Найкоротший шлях

A → C → E → F
d(F) = 25

Відповідь

d(F) = 25

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms