Алгоритми та структури даних: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 6 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теорія графів

Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij

Метод

  1. Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
  2. У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
  3. Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
  4. Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
  5. Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

2Задачі для практики

1.Алгоритми та складністьСередня

Часова складність наївного рекурсивного обчислення чисел Фібоначчі (fib(n) = fib(n−1) + fib(n−2)) є:

  1. AЛінійною
  2. BСталою
  3. CЕкспоненційною
  4. DЛогарифмічною
2.Алгоритми та складністьСкладна

Множення Карацуби задовольняє T(n) = 3T(n/2) + O(n). Який розв'язок?

  1. AΘ(nlog₂ 3), близько n1,585
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(n3)
  4. DΘ(n log n)
3.Структури данихСередня

Геш-таблиця розміру 7 використовує h(k) = k mod 7 і лінійне зондування. Після вставлення 10 де буде збережено 17?

  1. AВ індексі 6
  2. BВ індексі 0
  3. CВ індексі 4
  4. DВ індексі 3
4.Структури данихСкладна

Вставлення ключа в AVL-дерево робить ліве піддерево вузла надто високим, причому новий ключ потрапив у ліве піддерево його лівої дитини (випадок «ліво-ліво»). Яке виправлення застосовують?

  1. AЛівий поворот у дитині, потім правий поворот у вузлі
  2. BОдинарний правий поворот у незбалансованому вузлі
  3. CОдинарний лівий поворот у незбалансованому вузлі
  4. DПерефарбування вузла та його дитини
5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 6 вершин і 15 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 6|E| = 15
k =
6.Теорія графівСкладна
132644911159ABCDEFG

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(F) найкоротшого шляху від A до F у зваженому графі.

початок: Aкінець: F
d(F) =

3Розчини

1.Алгоритми та складність

Відповідь: C · Експоненційною

Чому це відповідь

Дерево викликів зростає приблизно як φⁿ (близько 1,618ⁿ). Мемоізація зменшує складність до O(n).

Відповідь

C · Експоненційною
2.Алгоритми та складність

Відповідь: A · Θ(nlog₂ 3), близько n1,585

Чому це відповідь

Оскільки log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, за основною теоремою домінують листки, що краще за шкільний метод O(n²).

Відповідь

A · Θ(nlog₂ 3), близько n1,585
3.Структури даних

Відповідь: C · В індексі 4

Чому це відповідь

10 mod 7 = 3 і 17 mod 7 = 3; індекс 3 зайнятий, тож лінійне зондування пробує наступну комірку — індекс 4.

Відповідь

C · В індексі 4
4.Структури даних

Відповідь: B · Одинарний правий поворот у незбалансованому вузлі

Чому це відповідь

У випадку «ліво-ліво» один правий поворот піднімає ліву дитину вгору й відновлює баланс; зигзагоподібні випадки потребують подвійного повороту.

Відповідь

B · Одинарний правий поворот у незбалансованому вузлі
5.Теорія графів

Відповідь: k = 10

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

6 − 1 = 5

Ребра для вилучення

k = 15 − 5 = 10

Відповідь

k = 10
6.Теорія графів

Відповідь: d(F) = 23

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 13, C: 2
C (2): G: 17
B (13): D: 19
G (17): E: 26
D (19): E: 23, F: 23
E (23)
F (23)

Найкоротший шлях

A → B → D → F
d(F) = 23

Відповідь

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms