Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Чи є r → (r ∧ q) тавтологією, суперечністю чи випадковою формулою? Клікніть свою відповідь.
r → (r ∧ q)
1тавтологія
2суперечність
3випадкова формула
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Яке твердження еквівалентне ¬∃x (A(x) ∧ B(x)), якщо заперечення перенесено повністю досередини? Клікніть його.
¬∃x (A(x) ∧ B(x))
1∀x (A(x) → ¬B(x))
2∀x (A(x) ∧ ¬B(x))
3∃x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
4∀x (¬A(x) ∧ ¬B(x))
3.Множини, відношення та функціїСередня
Опитування 46 осіб показує, що 24 мають ноутбук (L), 32 мають планшет (T), а 11 мають і те, і те. Скільки входять до L, але не до T?
|U| = 46|L| = 24|T| = 32|L ∩ T| = 11
|L − T| =
4.Множини, відношення та функціїСкладна
Стрілкова діаграма показує функцію f: A → B, де A = {1, 2, 3} і B = {a, b, c, d, e}. Клікніть опис, що підходить для f.
f = {(1, d), (2, c), (3, a)}
1ін’єктивна, не сюр’єктивна
2сюр’єктивна, не ін’єктивна
3бієктивна
4жодна з цих
5.Теорія графівСередня
Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K7? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.
K7
H =
6.Теорія графівСкладна
Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(E) найкоротшого шляху від A до E у зваженому графі.
початок: Aкінець: E
d(E) =
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Знайдіть найменше додатне ціле x, де x ≡ 5 (mod 6) і x ≡ 8 (mod 11).
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Таблиця істинності рядок за рядком
q = 1, r = 1: r ∧ q = 1, r → (r ∧ q) = 1
q = 1, r = 0: r ∧ q = 0, r → (r ∧ q) = 1
q = 0, r = 1: r ∧ q = 0, r → (r ∧ q) = 0
q = 0, r = 0: r ∧ q = 0, r → (r ∧ q) = 1
Класифікуйте
r → (r ∧ q): 1, 1, 0, 1
1 у 3 з 4 рядків, 0 в інших: випадкова формула.
Відповідь
випадкова формула
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ∀x (A(x) → ¬B(x))
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Перенесіть заперечення досередини
¬∃x (A(x) ∧ B(x)) ≡ ∀x (A(x) → ¬B(x))
Відповідь
∀x (A(x) → ¬B(x))
Інші варіанти або залишають квантор без змін, або змінюють порядок кванторів, або неправильно заперечують внутрішню формулу.
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: |L − T| = 13
Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Області
L ∩ T: 11
L − T: 24 − 11 = 13
T − L: 32 − 11 = 21
(L ∪ T)′: 46 − (13 + 21 + 11) = 1
Відповідь
|L − T| = 13
Відповідь
|L − T| = 13
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: ін’єктивна, не сюр’єктивна
Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.
Ін’єктивна?
кожен елемент B отримує не більше однієї стрілки → ін’єктивна
Сюр’єктивна?
b, e не отримують стрілок → не сюр’єктивна
Відповідь
ін’єктивна, не сюр’єктивна
Відповідь
ін’єктивна, не сюр’єктивна
5.Теорія графів
Відповідь: H = 360
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Порахуйте
H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360
Відповідь
H = 360
6.Теорія графів
Відповідь: d(E) = 16
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстри раунд за раундом
Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.
A (0): B: 11
B (11): C: 13, G: 20
C (13): E: 16
E (16): D: 30, F: 27
G (20): D: 22
D (22)
F (27)
Найкоротший шлях
A → B → C → E
d(E) = 16
Відповідь
d(E) = 16
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: x = 41
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Перша конгруенція
x = 5 + 6k
Друга конгруенція
5 + 6k ≡ 8 (mod 11) → 6k ≡ 3 (mod 11)
k ≡ 2·3 ≡ 6 (mod 11)
Результат
x = 5 + 6·6 = 41
x = 41
перевірка: 41 mod 6 = 5, 41 mod 11 = 8
Відповідь
x = 41
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: x = 2
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).