Дискретна математика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Логіка висловлювань і доведення

Рядки таблиці істинності: 2ⁿ
Імплікація: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Заперечена імплікація: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Еквіваленція: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
Закони де Моргана: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Закони дистрибутивності: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Заперечення кванторів: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Метод

Порахуйте різні змінні: таблиця істинності має 2ⁿ рядків, і починається вона з рядка, де всі змінні дорівнюють 1.
Дайте кожній підформулі власний стовпець і заповнюйте стовпці зсередини назовні.
Застосовуйте правило кожного зв’язника: → дорівнює 0 лише для 1 → 0, ↔ дорівнює 1, коли обидві частини збігаються.
Для еквівалентностей порівнюйте останні стовпці рядок за рядком; для міркування дивіться лише на рядки, де кожна передумова дорівнює 1.
Щоб заперечити твердження з квантором, перенесіть ¬ досередини, поміняйте ∀ і ∃ та заперечте внутрішню формулу.

Множини, відношення та функції

Дві множини: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Три множини: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Різниця та доповнення: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Булеан і декартів добуток: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Підмножини розміру k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Функції A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Відношення на n елементах: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Композиція: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Метод

Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.

Теорія графів

Лема про рукостискання: Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярний граф: |E| = n·k/2
Дерево і ліс: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер: цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в K_n: (n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L: (Mᴸ)_ij

Метод

Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

Теорія чисел і арифметика за модулем

Ділення із залишком: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Метод

Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Задачі для практики

1.Логіка висловлювань і доведенняСередня

Чи є ((r ∨ q) ∧ ¬r) → q тавтологією, суперечністю чи випадковою формулою? Клікніть свою відповідь.

((r ∨ q) ∧ ¬r) → q

1тавтологія
2суперечність
3випадкова формула

2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна

Задано передумови b ∨ a; ¬b ∨ c. Який висновок з них випливає? Клікніть його.

b ∨ a¬b ∨ c

1a ∨ c
2b ∨ c
3¬a
4a ∧ c

3.Множини, відношення та функціїСередня

Опитування 43 осіб показує, що 12 мають ноутбук (L), 16 — планшет (T), а 20 — смарт-годинник (W). 5 мають L і T, 6 мають L і W, 4 мають T і W, а 2 мають усі три. Скільки входять рівно до двох із трьох множин? Позначте число n.

|U| = 43

n =

4.Множини, відношення та функціїСкладна

На X = {1, 2, …, 13} відношення R виконується, коли x ≡ y (mod 5). Скільки впорядкованих пар містить R? Позначте це число |R|.

X = {1, …, 13}x R y ⟺ 5 | (x − y)

|R| =

5.Теорія графівСередня

Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K₄? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.

K₄

H =

6.Теорія графівСкладна

Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 2; пропущені ребра не враховуються.

k = 2

1ребро AB
2ребро AC
3ребро BC
4ребро BD
5ребро CE
6ребро DF
7ребро EF
8ребро GB
9ребро GD
10ребро GE

7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня

Розв’яжіть 14x ≡ 60 (mod 73). Дайте розв’язок x, де 0 < x < 73.

14x ≡ 60 (mod 73)

x =

8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна

Скільки розв’язків N має 16x ≡ 34 (mod 46) серед {0, 1, …, 45}?

16x ≡ 34 (mod 46)

N =

3Розчини

1.Логіка висловлювань і доведення

Відповідь: тавтологія

Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Таблиця істинності рядок за рядком

q = 1, r = 1: r ∨ q = 1, ¬r = 0, (r ∨ q) ∧ ¬r = 0, ((r ∨ q) ∧ ¬r) → q = 1

q = 1, r = 0: r ∨ q = 1, ¬r = 1, (r ∨ q) ∧ ¬r = 1, ((r ∨ q) ∧ ¬r) → q = 1

q = 0, r = 1: r ∨ q = 1, ¬r = 0, (r ∨ q) ∧ ¬r = 0, ((r ∨ q) ∧ ¬r) → q = 1

q = 0, r = 0: r ∨ q = 0, ¬r = 1, (r ∨ q) ∧ ¬r = 0, ((r ∨ q) ∧ ¬r) → q = 1

Класифікуйте

((r ∨ q) ∧ ¬r) → q: 1, 1, 1, 1

1 у кожному рядку: тавтологія.

Відповідь

тавтологія

2.Логіка висловлювань і доведення

Відповідь: a ∨ c

Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.

Рядки, де всі передумови істинні

a = 1, b = 1, c = 1: a ∨ c = 1, b ∨ c = 1, ¬a = 0, a ∧ c = 1

a = 1, b = 0, c = 1: a ∨ c = 1, b ∨ c = 1, ¬a = 0, a ∧ c = 1

a = 1, b = 0, c = 0: a ∨ c = 1, b ∨ c = 0, ¬a = 0, a ∧ c = 0

a = 0, b = 1, c = 1: a ∨ c = 1, b ∨ c = 1, ¬a = 1, a ∧ c = 0

Висновок

a ∨ c (роздільність)

Відповідь

a ∨ c

3.Множини, відношення та функції

Відповідь: n = 9

Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Центр і пари

L ∩ T ∩ W: 2

L ∩ T лише: 5 − 2 = 3

L ∩ W лише: 6 − 2 = 4

T ∩ W лише: 4 − 2 = 2

Окремі множини

L лише: 12 − 3 − 4 − 2 = 3

T лише: 16 − 3 − 2 − 2 = 9

W лише: 20 − 4 − 2 − 2 = 12

Відповідь

3 + 4 + 2 = 9

Відповідь

n = 9

4.Множини, відношення та функції

Відповідь: |R| = 35

Відношення: відношення R на множині X — це множина впорядкованих пар (x, y). R рефлексивне, коли (x, x) ∈ R для кожного x з X; симетричне, коли (x, y) ∈ R завжди супроводжується (y, x) ∈ R; антисиметричне, коли (x, y) і (y, x) одночасно належать R лише якщо x = y; і транзитивне, коли (x, y) та (y, z) в R тягнуть за собою (x, z) ∈ R. Відношення еквівалентності рефлексивне, симетричне й транзитивне та розбиває X на неперетинні класи.

Класи

залишок 0: 2

залишок 1: 3

залишок 2: 3

залишок 3: 3

залишок 4: 2

Пари

|R| = 2² + 3² + 3² + 3² + 2² = 35

Відповідь

|R| = 35

5.Теорія графів

Відповідь: H = 3

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у K_n їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Порахуйте

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Відповідь

H = 3

6.Теорія графів

Відповідь: ребро AC

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Крускала

1. GD (1)

2. AC (5)

3. BD (6)

4. AB (7)

5. DF (11)

6. CE (12)

номер ребра 2

Відповідь

ребро AC

7.Теорія чисел і арифметика за модулем

Відповідь: x = 46

Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Обернений до 14

r = 73, t = 0

r = 14, q = 5, t = 1

r = 3, q = 4, t = −5

r = 2, q = 1, t = 21

r = 1, q = 2, t = −26

14⁻¹ ≡ 47 (mod 73)

Розв’яжіть

x ≡ 47·60 = 2820 ≡ 46 (mod 73)

перевірка: 14·46 = 644 ≡ 60 (mod 73)

Відповідь

x = 46

8.Теорія чисел і арифметика за модулем

Відповідь: N = 2

Поділіть на НСД

gcd(16, 46) = 2

8x ≡ 17 (mod 23)

Розв’яжіть скорочену конгруенцію

8⁻¹ ≡ 3 (mod 23) → x ≡ 5 (mod 23)

Розв’язки за модулем 46

x ∈ {5, 28}

N = 2

Відповідь

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics