Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Чи є ((c → a) ∧ a) → c тавтологією, суперечністю чи випадковою формулою? Клікніть свою відповідь.
((c → a) ∧ a) → c
1тавтологія
2суперечність
3випадкова формула
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Яке твердження еквівалентне ¬∀x ∃y R(x, y), якщо заперечення перенесено повністю досередини? Клікніть його.
¬∀x ∃y R(x, y)
1∀x ∀y ¬R(x, y)
2∃x ∀y ¬R(x, y)
3∃y ∀x ¬R(x, y)
4∀x ∃y ¬R(x, y)
3.Множини, відношення та функціїСередня
Опитування 61 осіб показує, що 36 мають ноутбук (L), 31 — планшет (T), а 26 — смарт-годинник (W). 13 мають L і T, 15 мають L і W, 10 мають T і W, а 1 мають усі три. Скільки входять рівно до двох із трьох множин? Позначте число n.
|U| = 61
n =
4.Множини, відношення та функціїСкладна
Стрілкова діаграма показує функцію f: A → B, де A = {1, 2, 3} і B = {a, b, c, d, e}. Клікніть опис, що підходить для f.
f = {(1, a), (2, e), (3, c)}
1ін’єктивна, не сюр’єктивна
2сюр’єктивна, не ін’єктивна
3бієктивна
4жодна з цих
5.Теорія графівСередня
Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.
|V| = 6|E| = 7
1Ейлерів цикл
2Ейлерів шлях, не цикл
3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.
|V| = 7|E| = 10
W =
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Знайдіть функцію Ейлера φ(21), кількість цілих чисел від 1 до 21, взаємно простих з 21.
n = 21 = 3·7
φ(21) =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
Скористайтеся повторним піднесенням до квадрата, щоб знайти 2946 mod 93.
a = 29k = 46n = 93
2946 mod 93 =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: випадкова формула
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Таблиця істинності рядок за рядком
a = 1, c = 1: c → a = 1, (c → a) ∧ a = 1, ((c → a) ∧ a) → c = 1
a = 1, c = 0: c → a = 1, (c → a) ∧ a = 1, ((c → a) ∧ a) → c = 0
a = 0, c = 1: c → a = 0, (c → a) ∧ a = 0, ((c → a) ∧ a) → c = 1
a = 0, c = 0: c → a = 1, (c → a) ∧ a = 0, ((c → a) ∧ a) → c = 1
Класифікуйте
((c → a) ∧ a) → c: 1, 0, 1, 1
1 у 3 з 4 рядків, 0 в інших: випадкова формула.
Відповідь
випадкова формула
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ∃x ∀y ¬R(x, y)
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Перенесіть заперечення досередини
¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)
Відповідь
∃x ∀y ¬R(x, y)
Інші варіанти або залишають квантор без змін, або змінюють порядок кванторів, або неправильно заперечують внутрішню формулу.
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: n = 35
Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Центр і пари
L ∩ T ∩ W: 1
L ∩ T лише: 13 − 1 = 12
L ∩ W лише: 15 − 1 = 14
T ∩ W лише: 10 − 1 = 9
Окремі множини
L лише: 36 − 12 − 14 − 1 = 9
T лише: 31 − 12 − 9 − 1 = 9
W лише: 26 − 14 − 9 − 1 = 2
Відповідь
12 + 14 + 9 = 35
Відповідь
n = 35
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: ін’єктивна, не сюр’єктивна
Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.
Ін’єктивна?
кожен елемент B отримує не більше однієї стрілки → ін’єктивна
Сюр’єктивна?
b, d не отримують стрілок → не сюр’єктивна
Відповідь
ін’єктивна, не сюр’єктивна
Відповідь
ін’єктивна, не сюр’єктивна
5.Теорія графів
Відповідь: Ейлерів шлях, не цикл
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Ейлерів шлях починається в одній непарній вершині й закінчується в другій.
6.Теорія графів
Відповідь: W = 62
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Крускала
CE (3): взяти
GE (6): взяти
BD (8): взяти
GC (10): пропустити, замикає цикл
BC (11): взяти
GB (13): пропустити, замикає цикл
AC (15): взяти
AB (18): пропустити, замикає цикл
EF (19): взяти
Загальна вага
W = 3 + 6 + 8 + 11 + 15 + 19 = 62
Відповідь
W = 62
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: φ(21) = 12
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Прості множники
21 = 3·7
Функція Ейлера
φ(21) = φ(3)·φ(7) = 2·6 = 12
Відповідь
φ(21) = 12
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 2946 mod 93 = 64
Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.