Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Ви хочете довести (b ∨ a) → c від супротивного. Яке твердження ви припускаєте на початку? Клікніть його.
(b ∨ a) → c
1¬(b ∨ a) → ¬c
2¬(b ∨ a) ∧ c
3(b ∨ a) ∧ ¬c
4¬(b ∨ a) ∧ ¬c
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Яке твердження еквівалентне ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)), якщо заперечення перенесено повністю досередини? Клікніть його.
¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))
1∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
2∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
4∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3.Множини, відношення та функціїСередня
У групі з 51 студентів 28 розмовляють французькою (F), 28 — німецькою (G), а 17 — іспанською (S). 20 розмовляють французькою й німецькою, 10 — французькою й іспанською, 10 — німецькою й іспанською, а 6 розмовляють усіма трьома. Скільки входять лише до F?
|U| = 51
|F − (G ∪ S)| =
4.Множини, відношення та функціїСкладна
Стрілкова діаграма показує функцію f: A → B, де A = {1, 2, 3} і B = {a, b}. Клікніть опис, що підходить для f.
f = {(1, a), (2, b), (3, b)}
1ін’єктивна, не сюр’єктивна
2сюр’єктивна, не ін’єктивна
3бієктивна
4жодна з цих
5.Теорія графівСередня
Зв’язний граф має 10 вершин і 19 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?
|V| = 10|E| = 19
k =
6.Теорія графівСкладна
Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 6; сама A — це раунд 1.
початок: Aраунд 6
1A
2B
3C
4D
5E
6F
7G
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Знайдіть обернений до 12 за модулем 17: число x, де 0 < x < 17 і 12·x ≡ 1 (mod 17).
a = 12n = 17
12−1 mod 17 =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
Скористайтеся повторним піднесенням до квадрата, щоб знайти 19135 mod 24.
a = 19k = 135n = 24
19135 mod 24 =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: (b ∨ a) ∧ ¬c
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Частини імплікації
a = b ∨ a, b = c
Заперечення імплікації
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (b ∨ a) ∧ ¬c
Відповідь
(b ∨ a) ∧ ¬c
Якщо припущення веде до суперечності, імплікація має бути істинною.
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Інші варіанти або залишають квантор без змін, або змінюють порядок кванторів, або неправильно заперечують внутрішню формулу.
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: |F − (G ∪ S)| = 4
Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Центр і пари
F ∩ G ∩ S: 6
F ∩ G лише: 20 − 6 = 14
F ∩ S лише: 10 − 6 = 4
G ∩ S лише: 10 − 6 = 4
Окремі множини
F лише: 28 − 14 − 4 − 6 = 4
G лише: 28 − 14 − 4 − 6 = 4
S лише: 17 − 4 − 4 − 6 = 3
Відповідь
|F − (G ∪ S)| = 4
Відповідь
|F − (G ∪ S)| = 4
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: сюр’єктивна, не ін’єктивна
Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.
Ін’єктивна?
f(2) = f(3) = b → не ін’єктивна
Сюр’єктивна?
кожен елемент B отримує стрілку → сюр’єктивна
Відповідь
сюр’єктивна, не ін’єктивна
Відповідь
сюр’єктивна, не ін’єктивна
5.Теорія графів
Відповідь: k = 10
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Ребра остовного дерева
10 − 1 = 9
Ребра для вилучення
k = 19 − 9 = 10
Відповідь
k = 10
6.Теорія графів
Відповідь: F
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстри раунд за раундом
1. A (0): B: 12, C: 11
2. C (11): G: 18
3. B (12)
4. G (18): D: 21, E: 19
5. E (19): F: 20
6. F (20)
7. D (21)
раунд 6
F
Відповідь
F
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 12−1 mod 17 = 10
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Розширений алгоритм Евкліда
Кожен залишок r записується як r ≡ t·12 (mod 17).
r = 17, t = 0
r = 12, q = 1, t = 1
r = 5, q = 2, t = −1
r = 2, q = 2, t = 3
r = 1, q = 2, t = −7
Обернена
1 ≡ −7·12 (mod 17)
x = 10
перевірка: 12·10 = 120 = 7·17 + 1
Відповідь
12−1 mod 17 = 10
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 19135 mod 24 = 19
Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.