Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Яка формула логічно еквівалентна (p ∧ q) → r? Клікніть її.
(p ∧ q) → r
1(p → q) → r
2p ∧ (q → r)
3(p → r) ∧ (q → r)
4p → (q → r)
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Яке твердження еквівалентне ¬∀x ∃y R(x, y), якщо заперечення перенесено повністю досередини? Клікніть його.
¬∀x ∃y R(x, y)
1∀x ∃y ¬R(x, y)
2∀x ∀y ¬R(x, y)
3∃y ∀x ¬R(x, y)
4∃x ∀y ¬R(x, y)
3.Множини, відношення та функціїСередня
R = {(2, 3), (3, 1), (3, 2)} — відношення на {1, 2, 3}. Яке найменше число k впорядкованих пар треба додати до R, щоб воно стало симетричним?
R = {(2, 3), (3, 1), (3, 2)}
k =
4.Множини, відношення та функціїСкладна
Стрілкова діаграма показує функцію f: A → B, де A = {1, 2, 3, 4} і B = {a, b, c, d}. Клікніть опис, що підходить для f.
f = {(1, b), (2, a), (3, d), (4, c)}
1ін’єктивна, не сюр’єктивна
2сюр’єктивна, не ін’єктивна
3бієктивна
4жодна з цих
5.Теорія графівСередня
Дерево має 4 вершин степеня 3, 3 вершин степеня 4, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?
4 × deg 33 × deg 4
L =
6.Теорія графівСкладна
Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(D) найкоротшого шляху від A до D у зваженому графі.
початок: Aкінець: D
d(D) =
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Знайдіть обернений до 53 за модулем 79: число x, де 0 < x < 79 і 53·x ≡ 1 (mod 79).
a = 53n = 79
53−1 mod 79 =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
Ключ RSA використовує прості числа p = 11 і q = 41 та відкритий показник e = 17. Знайдіть закритий показник d (0 < d < φ(n)).
p = 11q = 41e = 17
d =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: p → (q → r)
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
Експортація: (a ∧ b) → c ≡ a → (b → c). Обидві дорівнюють 0 лише за a = 1, b = 1 і c = 0.
(p ∧ q) → r ≡ p → (q → r)
Перевірте за таблицею істинності
p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 1, r = 0: 0 | 0 0 0 0
p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 0 1
p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 0 1 1
p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 0 0 0 1
p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 1 0 1 1
p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 0 0 1 1
Відповідь
p → (q → r)
Стовпці після риски — це варіанти в показаному порядку.
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ∃x ∀y ¬R(x, y)
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Перенесіть заперечення досередини
¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)
Відповідь
∃x ∀y ¬R(x, y)
Інші варіанти або залишають квантор без змін, або змінюють порядок кванторів, або неправильно заперечують внутрішню формулу.
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: k = 1
Відношення: відношення R на множині X — це множина впорядкованих пар (x, y). R рефлексивне, коли (x, x) ∈ R для кожного x з X; симетричне, коли (x, y) ∈ R завжди супроводжується (y, x) ∈ R; антисиметричне, коли (x, y) і (y, x) одночасно належать R лише якщо x = y; і транзитивне, коли (x, y) та (y, z) в R тягнуть за собою (x, z) ∈ R. Відношення еквівалентності рефлексивне, симетричне й транзитивне та розбиває X на неперетинні класи.
Пари для додавання
{(1, 3)}
Порахуйте
k = 1
Відповідь
k = 1
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: бієктивна
Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.
Ін’єктивна?
кожен елемент B отримує не більше однієї стрілки → ін’єктивна
Сюр’єктивна?
кожен елемент B отримує стрілку → сюр’єктивна
Відповідь
бієктивна
Відповідь
бієктивна
5.Теорія графів
Відповідь: L = 12
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Лема про рукостискання для дерева
L + 24 = 2(L + 7) − 2
L = 12
Відповідь
L = 12
Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.
6.Теорія графів
Відповідь: d(D) = 11
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстри раунд за раундом
Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.
A (0): B: 13, C: 4
C (4): B: 10
B (10): D: 11, E: 14
D (11): F: 14
E (14)
F (14)
Найкоротший шлях
A → C → B → D
d(D) = 11
Відповідь
d(D) = 11
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 53−1 mod 79 = 3
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Розширений алгоритм Евкліда
Кожен залишок r записується як r ≡ t·53 (mod 79).
r = 79, t = 0
r = 53, q = 1, t = 1
r = 26, q = 2, t = −1
r = 1, q = 26, t = 3
Обернена
1 ≡ 3·53 (mod 79)
x = 3
перевірка: 53·3 = 159 = 2·79 + 1
Відповідь
53−1 mod 79 = 3
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: d = 353
Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.