Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Чи є (q ∧ (q → p)) → p тавтологією, суперечністю чи випадковою формулою? Клікніть свою відповідь.
(q ∧ (q → p)) → p
1тавтологія
2суперечність
3випадкова формула
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Яке твердження еквівалентне ¬∃x ∀y R(x, y), якщо заперечення перенесено повністю досередини? Клікніть його.
¬∃x ∀y R(x, y)
1∀x ∀y ¬R(x, y)
2∃x ∀y ¬R(x, y)
3∃x ∃y ¬R(x, y)
4∀x ∃y ¬R(x, y)
3.Множини, відношення та функціїСередня
Відношення R на {1, 2, 3, 4} зображено орієнтованим графом (петля означає (x, x) ∈ R). Виконується рівно одна з чотирьох властивостей. Клікніть її.
R = {(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3), (4, 1)}
1рефлексивне
2симетрична
3антисиметричне
4транзитивне
4.Множини, відношення та функціїСкладна
Скільки існує сюр’єктивних (на) функцій f: A → B, якщо |A| = 5 і |B| = 4? Позначте число N.
|A| = 5|B| = 4
N =
5.Теорія графівСередня
Дерево має 3 вершин степеня 3, 4 вершин степеня 4, 2 вершин степеня 5, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?
3 × deg 34 × deg 42 × deg 53 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
Алгоритм Пріма будує мінімальне остовне дерево, починаючи з вершини A. Клікніть ребро, яке він додає як ребро номер 4.
початок: Ak = 4
1ребро AB
2ребро AC
3ребро BC
4ребро BD
5ребро CE
6ребро DE
7ребро BE
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Розв’яжіть 28x ≡ 22 (mod 41). Дайте розв’язок x, де 0 < x < 41.
28x ≡ 22 (mod 41)
x =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
41 — просте. Скористайтеся малою теоремою Ферма, щоб знайти 2028002 mod 41.
p = 41k = 28002
2028002 mod 41 =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: тавтологія
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Таблиця істинності рядок за рядком
p = 1, q = 1: q → p = 1, q ∧ (q → p) = 1, (q ∧ (q → p)) → p = 1
p = 1, q = 0: q → p = 1, q ∧ (q → p) = 0, (q ∧ (q → p)) → p = 1
p = 0, q = 1: q → p = 0, q ∧ (q → p) = 0, (q ∧ (q → p)) → p = 1
p = 0, q = 0: q → p = 1, q ∧ (q → p) = 0, (q ∧ (q → p)) → p = 1
Класифікуйте
(q ∧ (q → p)) → p: 1, 1, 1, 1
1 у кожному рядку: тавтологія.
Відповідь
тавтологія
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ∀x ∃y ¬R(x, y)
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Перенесіть заперечення досередини
¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)
Відповідь
∀x ∃y ¬R(x, y)
Інші варіанти або залишають квантор без змін, або змінюють порядок кванторів, або неправильно заперечують внутрішню формулу.
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: транзитивне
Відношення: відношення R на множині X — це множина впорядкованих пар (x, y). R рефлексивне, коли (x, x) ∈ R для кожного x з X; симетричне, коли (x, y) ∈ R завжди супроводжується (y, x) ∈ R; антисиметричне, коли (x, y) і (y, x) одночасно належать R лише якщо x = y; і транзитивне, коли (x, y) та (y, z) в R тягнуть за собою (x, z) ∈ R. Відношення еквівалентності рефлексивне, симетричне й транзитивне та розбиває X на неперетинні класи.
рефлексивне
не виконується: (1, 1) ∉ R
симетрична
не виконується: (4, 1) ∈ R, (1, 4) ∉ R
антисиметричне
не виконується: (2, 3), (3, 2) ∈ R
транзитивне
виконується
Відповідь
транзитивне
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: N = 240
Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Лема про рукостискання для дерева
L + 41 = 2(L + 12) − 2
L = 19
Відповідь
L = 19
Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.
6.Теорія графів
Відповідь: ребро BD
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Пріма
1. AB (12)
2. BE (4)
3. BC (11)
4. BD (14)
номер ребра 4
BD
Відповідь
ребро BD
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: x = 33
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Обернений до 28
r = 41, t = 0
r = 28, q = 1, t = 1
r = 13, q = 2, t = −1
r = 2, q = 6, t = 3
r = 1, q = 2, t = −19
28−1 ≡ 22 (mod 41)
Розв’яжіть
x ≡ 22·22 = 484 ≡ 33 (mod 41)
перевірка: 28·33 = 924 ≡ 22 (mod 41)
Відповідь
x = 33
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 2028002 mod 41 = 31
Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.