Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Яка формула логічно еквівалентна b → a? Клікніть її.
b → a
1¬b → ¬a
2a → b
3¬a → ¬b
4¬a ∧ ¬b
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Яке твердження еквівалентне ¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x)), якщо заперечення перенесено повністю досередини? Клікніть його.
¬∀x ∀y (R(x, y) → R(y, x))
1∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
2∀x ∀y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3∃x ∃y (R(x, y) → ¬R(y, x))
4∃x ∃y (¬R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
3.Множини, відношення та функціїСередня
Рівно одна область діаграми Вена є множиною (A ∩ C) ∩ (A′ ∪ B′). Клікніть її номер.
(A ∩ C) ∩ (A′ ∪ B′)
1область 1
2область 2
3область 3
4область 4
5область 5
6область 6
7область 7
8область 8
4.Множини, відношення та функціїСкладна
Відношення еквівалентності R на {1, …, 8} має класи {8}, {1, 3, 5, 6}, {2, 4, 7}. Скільки впорядкованих пар містить R? Позначте це число |R|.
{8}{1, 3, 5, 6}{2, 4, 7}
|R| =
5.Теорія графівСередня
Чи має зв’язний граф ейлерів цикл, ейлерів шлях, що не є циклом, чи нічого з цього? Клікніть свою відповідь.
|V| = 7|E| = 9
1Ейлерів цикл
2Ейлерів шлях, не цикл
3жодна з цих
6.Теорія графівСкладна
Скільки замкнених маршрутів довжиною 3 починаються й закінчуються в C? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.
M = матриця суміжностіL = 3
N =
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Знайдіть функцію Ейлера φ(722), кількість цілих чисел від 1 до 722, взаємно простих з 722.
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
Імплікація еквівалентна своїй контрапозиції ¬b → ¬a, а не оберненій b → a чи протилежній ¬a → ¬b.
b → a ≡ ¬a → ¬b
Перевірте за таблицею істинності
a = 1, b = 1: 1 | 1 1 1 0
a = 1, b = 0: 1 | 0 0 1 0
a = 0, b = 1: 0 | 1 1 0 0
a = 0, b = 0: 1 | 1 1 1 1
Відповідь
¬a → ¬b
Стовпці після риски — це варіанти в показаному порядку.
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ∃x ∃y (R(x, y) ∧ ¬R(y, x))
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Інші варіанти або залишають квантор без змін, або змінюють порядок кванторів, або неправильно заперечують внутрішню формулу.
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: область 4
Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Всередині чи поза кожною множиною
A ∩ B′ ∩ C
Область
область 4
Відповідь
область 4
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: |R| = 26
Відношення: відношення R на множині X — це множина впорядкованих пар (x, y). R рефлексивне, коли (x, x) ∈ R для кожного x з X; симетричне, коли (x, y) ∈ R завжди супроводжується (y, x) ∈ R; антисиметричне, коли (x, y) і (y, x) одночасно належать R лише якщо x = y; і транзитивне, коли (x, y) та (y, z) в R тягнуть за собою (x, z) ∈ R. Відношення еквівалентності рефлексивне, симетричне й транзитивне та розбиває X на неперетинні класи.
Пари на клас
|R| = 1² + 4² + 3² = 26
Відповідь
|R| = 26
5.Теорія графів
Відповідь: жодна з цих
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. Kn має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.
Матриця суміжності
A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0
Ще один крок
(M³)CC = 1·1 + 2·1 + 3·0 + 2·0 + 1·1 + 0·0 = 4
Відповідь
N = 4
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: φ(722) = 342
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Прості множники
722 = 2·192
Функція Ейлера
φ(722) = φ(361)·φ(2) = 342·1 = 342
Відповідь
φ(722) = 342
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: x = 2
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).