Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Яка формула логічно еквівалентна ¬(b ↔ a)? Клікніть її.
¬(b ↔ a)
1¬b ↔ ¬a
2b ∧ ¬a
3b ↔ ¬a
4¬b ∨ ¬a
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Задано передумови q → r; q. Який висновок з них випливає? Клікніть його.
q → rq
1¬r
2q ∧ ¬r
3¬q
4r
3.Множини, відношення та функціїСередня
Опитування 40 осіб показує, що 11 мають ноутбук (L), 15 — планшет (T), а 19 — смарт-годинник (W). 2 мають L і T, 7 мають L і W, 3 мають T і W, а 1 мають усі три. Скільки не входять до жодної з трьох множин?
|U| = 40
|(L ∪ T ∪ W)′| =
4.Множини, відношення та функціїСкладна
Скільки існує бієкцій f: A → B, якщо |A| = |B| = 5? Позначте число N.
|A| = 5|B| = 5
N =
5.Теорія графівСередня
Дерево має 4 вершин степеня 3, 3 вершин степеня 4, 4 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?
4 × deg 33 × deg 44 × deg 2
L =
6.Теорія графівСкладна
Алгоритм Дейкстри працює від A. Клікніть вершину, яку фіксують (роблять остаточною) у раунді 5; сама A — це раунд 1.
початок: Aраунд 5
1A
2B
3C
4D
5E
6F
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Знайдіть обернений до 14 за модулем 37: число x, де 0 < x < 37 і 14·x ≡ 1 (mod 37).
a = 14n = 37
14−1 mod 37 =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
Ключ RSA використовує прості числа p = 37 і q = 47 та відкритий показник e = 7. Знайдіть закритий показник d (0 < d < φ(n)).
p = 37q = 47e = 7
d =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: b ↔ ¬a
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
¬(a ↔ b) дорівнює 1 саме тоді, коли a і b різні, а це a ↔ ¬b.
¬(b ↔ a) ≡ b ↔ ¬a
Перевірте за таблицею істинності
a = 1, b = 1: 0 | 1 0 0 0
a = 1, b = 0: 1 | 0 0 1 1
a = 0, b = 1: 1 | 0 1 1 1
a = 0, b = 0: 0 | 1 0 0 1
Відповідь
b ↔ ¬a
Стовпці після риски — це варіанти в показаному порядку.
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: r
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Рядки, де всі передумови істинні
q = 1, r = 1: ¬r = 0, q ∧ ¬r = 0, ¬q = 0, r = 1
Висновок
r (modus ponens)
Відповідь
r
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: |(L ∪ T ∪ W)′| = 6
Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Центр і пари
L ∩ T ∩ W: 1
L ∩ T лише: 2 − 1 = 1
L ∩ W лише: 7 − 1 = 6
T ∩ W лише: 3 − 1 = 2
Окремі множини
L лише: 11 − 1 − 6 − 1 = 3
T лише: 15 − 1 − 2 − 1 = 11
W лише: 19 − 6 − 2 − 1 = 10
Відповідь
|L ∪ T ∪ W| = 34
|(L ∪ T ∪ W)′| = 40 − 34 = 6
Відповідь
|(L ∪ T ∪ W)′| = 6
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: N = 120
Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.
Порахуйте
N = 5!/(5 − 5)! = 120
Відповідь
N = 120
5.Теорія графів
Відповідь: L = 12
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Лема про рукостискання для дерева
L + 32 = 2(L + 11) − 2
L = 12
Відповідь
L = 12
Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.
6.Теорія графів
Відповідь: D
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Дейкстри раунд за раундом
1. A (0): B: 5, C: 3
2. C (3): E: 4
3. E (4): D: 16, F: 13
4. B (5): D: 12
5. D (12)
6. F (13)
раунд 5
D
Відповідь
D
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: 14−1 mod 37 = 8
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Розширений алгоритм Евкліда
Кожен залишок r записується як r ≡ t·14 (mod 37).
r = 37, t = 0
r = 14, q = 2, t = 1
r = 9, q = 1, t = −2
r = 5, q = 1, t = 3
r = 4, q = 1, t = −5
r = 1, q = 4, t = 8
Обернена
1 ≡ 8·14 (mod 37)
x = 8
перевірка: 14·8 = 112 = 3·37 + 1
Відповідь
14−1 mod 37 = 8
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: d = 1183
Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.