Дискретна математика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Логіка висловлювань і доведення

Рядки таблиці істинності: 2ⁿ
Імплікація: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Заперечена імплікація: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Еквіваленція: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
Закони де Моргана: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Закони дистрибутивності: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Заперечення кванторів: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Метод

Порахуйте різні змінні: таблиця істинності має 2ⁿ рядків, і починається вона з рядка, де всі змінні дорівнюють 1.
Дайте кожній підформулі власний стовпець і заповнюйте стовпці зсередини назовні.
Застосовуйте правило кожного зв’язника: → дорівнює 0 лише для 1 → 0, ↔ дорівнює 1, коли обидві частини збігаються.
Для еквівалентностей порівнюйте останні стовпці рядок за рядком; для міркування дивіться лише на рядки, де кожна передумова дорівнює 1.
Щоб заперечити твердження з квантором, перенесіть ¬ досередини, поміняйте ∀ і ∃ та заперечте внутрішню формулу.

Множини, відношення та функції

Дві множини: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Три множини: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Різниця та доповнення: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Булеан і декартів добуток: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Підмножини розміру k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Функції A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Відношення на n елементах: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Композиція: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Метод

Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.

Теорія графів

Лема про рукостискання: Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярний граф: |E| = n·k/2
Дерево і ліс: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер: цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в K_n: (n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L: (Mᴸ)_ij

Метод

Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

Теорія чисел і арифметика за модулем

Ділення із залишком: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Метод

Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Задачі для практики

1.Логіка висловлювань і доведенняСередня

Яка формула логічно еквівалентна (b ∨ c) → a? Клікніть її.

(b ∨ c) → a

1(b ∧ c) → a
2(b → a) ∨ (c → a)
3(b → a) ∧ (c → a)
4b ∨ (c → a)

2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна

Задано передумови p → r; r → q. Який висновок з них випливає? Клікніть його.

p → rr → q

1p → q
2q → p
3¬p → ¬q
4p ∧ q

3.Множини, відношення та функціїСередня

Опитування 41 осіб показує, що 19 мають ноутбук (L), 19 — планшет (T), а 23 — смарт-годинник (W). 6 мають L і T, 14 мають L і W, 7 мають T і W, а 5 мають усі три. Скільки входять рівно до однієї з трьох множин? Позначте число n.

|U| = 41

n =

4.Множини, відношення та функціїСкладна

Функції f і g на {1, 2, 3, 4, 5} задано таблицями. Знайдіть (f ∘ g)(5).

f: 1 ↦ 4, 2 ↦ 1, 3 ↦ 3, 4 ↦ 1, 5 ↦ 4g: 1 ↦ 2, 2 ↦ 1, 3 ↦ 5, 4 ↦ 2, 5 ↦ 4

(f ∘ g)(5) =

5.Теорія графівСередня

Дерево має 2 вершин степеня 4, 3 вершин степеня 2, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

2 × deg 43 × deg 2

L =

6.Теорія графівСкладна

Скільки замкнених маршрутів довжиною 2 починаються й закінчуються в F? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2

N =

7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня

Розв’яжіть 11x ≡ 37 (mod 43). Дайте розв’язок x, де 0 < x < 43.

11x ≡ 37 (mod 43)

x =

8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна

17 — просте. Скористайтеся малою теоремою Ферма, щоб знайти 10⁶⁴¹⁴³ mod 17.

p = 17k = 64143

10⁶⁴¹⁴³ mod 17 =

3Розчини

1.Логіка висловлювань і доведення

Відповідь: (b → a) ∧ (c → a)

Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).

Закон

(a ∨ b) → c потребує c щоразу, коли виконується a або b: (a → c) ∧ (b → c).

(b ∨ c) → a ≡ (b → a) ∧ (c → a)

Перевірте за таблицею істинності

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 1

a = 0, b = 1, c = 1: 0 | 0 0 0 1

a = 0, b = 1, c = 0: 0 | 1 1 0 1

a = 0, b = 0, c = 1: 0 | 1 1 0 0

a = 0, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 1

Відповідь

(b → a) ∧ (c → a)

Стовпці після риски — це варіанти в показаному порядку.

2.Логіка висловлювань і доведення

Відповідь: p → q

Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.

Рядки, де всі передумови істинні

p = 1, q = 1, r = 1: p → q = 1, q → p = 1, ¬p → ¬q = 1, p ∧ q = 1

p = 0, q = 1, r = 1: p → q = 1, q → p = 0, ¬p → ¬q = 0, p ∧ q = 0

p = 0, q = 1, r = 0: p → q = 1, q → p = 0, ¬p → ¬q = 0, p ∧ q = 0

p = 0, q = 0, r = 0: p → q = 1, q → p = 1, ¬p → ¬q = 1, p ∧ q = 0

Висновок

p → q (гіпотетичний силогізм)

Відповідь

p → q

3.Множини, відношення та функції

Відповідь: n = 22

Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Центр і пари

L ∩ T ∩ W: 5

L ∩ T лише: 6 − 5 = 1

L ∩ W лише: 14 − 5 = 9

T ∩ W лише: 7 − 5 = 2

Окремі множини

L лише: 19 − 1 − 9 − 5 = 4

T лише: 19 − 1 − 2 − 5 = 11

W лише: 23 − 9 − 2 − 5 = 7

Відповідь

4 + 11 + 7 = 22

Відповідь

n = 22

4.Множини, відношення та функції

Відповідь: (f ∘ g)(5) = 1

Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.

Внутрішня функція

g(5) = 4

Зовнішня функція

f(4) = 1

(f ∘ g)(5) = 1

Відповідь

(f ∘ g)(5) = 1

5.Теорія графів

Відповідь: L = 6

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у K_n їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 14 = 2(L + 5) − 2

L = 6

Відповідь

L = 6

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: N = 1

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. K_n має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 0 0

C: 1 1 0 0 1 0

D: 0 1 0 0 1 0

E: 0 0 1 1 0 1

F: 0 0 0 0 1 0

Спільні сусіди

(M²)_FF = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 1

Відповідь

N = 1

7.Теорія чисел і арифметика за модулем

Відповідь: x = 19

Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Обернений до 11

r = 43, t = 0

r = 11, q = 3, t = 1

r = 10, q = 1, t = −3

r = 1, q = 10, t = 4

11⁻¹ ≡ 4 (mod 43)

Розв’яжіть

x ≡ 4·37 = 148 ≡ 19 (mod 43)

перевірка: 11·19 = 209 ≡ 37 (mod 43)

Відповідь

x = 19

8.Теорія чисел і арифметика за модулем

Відповідь: 10⁶⁴¹⁴³ mod 17 = 12

Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.

Зведіть показник

64143 mod 16 = 15

10⁶⁴¹⁴³ ≡ 10¹⁵ (mod 17)

Малий степінь

10¹⁵ mod 17 = 12

Відповідь

10⁶⁴¹⁴³ mod 17 = 12

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics