Дискретна математика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Логіка висловлювань і доведення

Рядки таблиці істинності: 2ⁿ
Імплікація: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Заперечена імплікація: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Еквіваленція: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
Закони де Моргана: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Закони дистрибутивності: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Заперечення кванторів: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Метод

Порахуйте різні змінні: таблиця істинності має 2ⁿ рядків, і починається вона з рядка, де всі змінні дорівнюють 1.
Дайте кожній підформулі власний стовпець і заповнюйте стовпці зсередини назовні.
Застосовуйте правило кожного зв’язника: → дорівнює 0 лише для 1 → 0, ↔ дорівнює 1, коли обидві частини збігаються.
Для еквівалентностей порівнюйте останні стовпці рядок за рядком; для міркування дивіться лише на рядки, де кожна передумова дорівнює 1.
Щоб заперечити твердження з квантором, перенесіть ¬ досередини, поміняйте ∀ і ∃ та заперечте внутрішню формулу.

Множини, відношення та функції

Дві множини: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Три множини: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Різниця та доповнення: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Булеан і декартів добуток: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Підмножини розміру k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Функції A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Відношення на n елементах: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Композиція: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Метод

Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.

Теорія графів

Лема про рукостискання: Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярний граф: |E| = n·k/2
Дерево і ліс: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер: цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в K_n: (n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L: (Mᴸ)_ij

Метод

Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

Теорія чисел і арифметика за модулем

Ділення із залишком: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Метод

Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Задачі для практики

1.Логіка висловлювань і доведенняСередня

У скількох із 8 рядків таблиці істинності (c ↔ a) → (b ∨ (a ∧ c)) істинне? Позначте це число N.

(c ↔ a) → (b ∨ (a ∧ c))

N =

2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна

Міркування з передумовами c ∨ b; c і висновком ¬b некоректне. Клікніть рядок таблиці істинності, що є контрприкладом.

c ∨ bc∴ ¬b

1b = 1, c = 1
2b = 1, c = 0
3b = 0, c = 1
4b = 0, c = 0

3.Множини, відношення та функціїСередня

Відношення R на {1, 2, 3, 4} зображено орієнтованим графом (петля означає (x, x) ∈ R). Виконується рівно одна з чотирьох властивостей. Клікніть її.

R = {(2, 3), (2, 4), (3, 2), (3, 4), (4, 2), (4, 3)}

1рефлексивне
2симетрична
3антисиметричне
4транзитивне

4.Множини, відношення та функціїСкладна

Скільки антисиметричних відношень існує на множині з 2 елементів? Позначте число N.

|X| = 2

N =

5.Теорія графівСередня

Зв’язний граф має 8 вершин і 15 ребер. Скільки ребер k треба вилучити, щоб залишилося остовне дерево?

|V| = 8|E| = 15

k =

6.Теорія графівСкладна

Скористайтеся алгоритмом Дейкстри, щоб знайти довжину d(E) найкоротшого шляху від A до E у зваженому графі.

початок: Aкінець: E

d(E) =

7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня

Знайдіть найменше додатне ціле x, де x ≡ 3 (mod 5) і x ≡ 0 (mod 6).

x ≡ 3 (mod 5)x ≡ 0 (mod 6)

x =

8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна

Скористайтеся повторним піднесенням до квадрата, щоб знайти 3¹³³ mod 86.

a = 3k = 133n = 86

3¹³³ mod 86 =

3Розчини

1.Логіка висловлювань і доведення

Відповідь: N = 7

Таблиці істинності: формула з n різними змінними має 2ⁿ рядків, по одному для кожної комбінації значень істинності (1 = істина, 0 = хибність). Працюйте зсередини назовні й дайте кожній підформулі власний стовпець. ¬a змінює значення; a ∧ b дорівнює 1 лише тоді, коли обидва дорівнюють 1; a ∨ b дорівнює 0 лише тоді, коли обидва дорівнюють 0; a → b дорівнює 0 лише тоді, коли a = 1 і b = 0; a ↔ b дорівнює 1, коли обидві частини рівні.

Таблиця істинності рядок за рядком

a = 1, b = 1, c = 1: c ↔ a = 1, a ∧ c = 1, b ∨ (a ∧ c) = 1, (c ↔ a) → (b ∨ (a ∧ c)) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: c ↔ a = 0, a ∧ c = 0, b ∨ (a ∧ c) = 1, (c ↔ a) → (b ∨ (a ∧ c)) = 1

a = 1, b = 0, c = 1: c ↔ a = 1, a ∧ c = 1, b ∨ (a ∧ c) = 1, (c ↔ a) → (b ∨ (a ∧ c)) = 1

a = 1, b = 0, c = 0: c ↔ a = 0, a ∧ c = 0, b ∨ (a ∧ c) = 0, (c ↔ a) → (b ∨ (a ∧ c)) = 1

a = 0, b = 1, c = 1: c ↔ a = 0, a ∧ c = 0, b ∨ (a ∧ c) = 1, (c ↔ a) → (b ∨ (a ∧ c)) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: c ↔ a = 1, a ∧ c = 0, b ∨ (a ∧ c) = 1, (c ↔ a) → (b ∨ (a ∧ c)) = 1

a = 0, b = 0, c = 1: c ↔ a = 0, a ∧ c = 0, b ∨ (a ∧ c) = 0, (c ↔ a) → (b ∨ (a ∧ c)) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: c ↔ a = 1, a ∧ c = 0, b ∨ (a ∧ c) = 0, (c ↔ a) → (b ∨ (a ∧ c)) = 0

Порахуйте рядки зі значенням 1

(c ↔ a) → (b ∨ (a ∧ c)): 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0

N = 7

Відповідь

N = 7

2.Логіка висловлювань і доведення

Відповідь: b = 1, c = 1

Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.

Передумови та висновок рядок за рядком

b = 1, c = 1: 1 1 | 0

b = 1, c = 0: 1 0 | 0

b = 0, c = 1: 1 1 | 1

b = 0, c = 0: 0 0 | 1

Контрприклад

b = 1, c = 1

Відповідь

b = 1, c = 1

Міркування такої форми схоже на коректне правило, але одного рядка досить, щоб показати, що це не так.

3.Множини, відношення та функції

Відповідь: симетрична

Відношення: відношення R на множині X — це множина впорядкованих пар (x, y). R рефлексивне, коли (x, x) ∈ R для кожного x з X; симетричне, коли (x, y) ∈ R завжди супроводжується (y, x) ∈ R; антисиметричне, коли (x, y) і (y, x) одночасно належать R лише якщо x = y; і транзитивне, коли (x, y) та (y, z) в R тягнуть за собою (x, z) ∈ R. Відношення еквівалентності рефлексивне, симетричне й транзитивне та розбиває X на неперетинні класи.

рефлексивне

не виконується: (1, 1) ∉ R

симетрична

виконується

антисиметричне

не виконується: (2, 3), (3, 2) ∈ R

транзитивне

не виконується: (2, 3), (3, 2) ∈ R, (2, 2) ∉ R

Відповідь

симетрична

4.Множини, відношення та функції

Відповідь: N = 12

Порахуйте вільні вибори

N = 2²·3¹ = 12

Відповідь

N = 12

5.Теорія графів

Відповідь: k = 8

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у K_n їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Ребра остовного дерева

8 − 1 = 7

Ребра для вилучення

k = 15 − 7 = 8

Відповідь

k = 8

6.Теорія графів

Відповідь: d(E) = 11

Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.

Алгоритм Дейкстри раунд за раундом

Кожен рядок: зафіксована вершина, її остаточна відстань і сусіди, чия відстань покращується.

A (0): B: 14, C: 9

C (9): B: 11, E: 11

B (11): D: 12

E (11): F: 20

D (12): F: 18

F (18)

Найкоротший шлях

A → C → E

d(E) = 11

Відповідь

d(E) = 11

7.Теорія чисел і арифметика за модулем

Відповідь: x = 18

Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Перша конгруенція

x = 3 + 5k

Друга конгруенція

3 + 5k ≡ 0 (mod 6) → 5k ≡ 3 (mod 6)

k ≡ 5·3 ≡ 3 (mod 6)

Результат

x = 3 + 5·3 = 18

x = 18

перевірка: 18 mod 5 = 3, 18 mod 6 = 0

Відповідь

x = 18

8.Теорія чисел і арифметика за модулем

Відповідь: 3¹³³ mod 86 = 37

Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.

Двійковий показник

133 = 10000101₂ = 128 + 4 + 1

Повторне піднесення до квадрата

3¹ ≡ 3 (mod 86)

3² ≡ 9 (mod 86)

3⁴ ≡ 81 (mod 86)

3⁸ ≡ 25 (mod 86)

3¹⁶ ≡ 23 (mod 86)

3³² ≡ 13 (mod 86)

3⁶⁴ ≡ 83 (mod 86)

3¹²⁸ ≡ 9 (mod 86)

Перемножте потрібні степені

3¹³³ ≡ 3·81·9 ≡ 37 (mod 86)

Відповідь

3¹³³ mod 86 = 37

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics