Дискретна математика: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Логіка висловлювань і доведення

Рядки таблиці істинності: 2ⁿ
Імплікація: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
Заперечена імплікація: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
Еквіваленція: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
Закони де Моргана: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
Закони дистрибутивності: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
Заперечення кванторів: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
Modus ponens, modus tollens: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

Метод

Порахуйте різні змінні: таблиця істинності має 2ⁿ рядків, і починається вона з рядка, де всі змінні дорівнюють 1.
Дайте кожній підформулі власний стовпець і заповнюйте стовпці зсередини назовні.
Застосовуйте правило кожного зв’язника: → дорівнює 0 лише для 1 → 0, ↔ дорівнює 1, коли обидві частини збігаються.
Для еквівалентностей порівнюйте останні стовпці рядок за рядком; для міркування дивіться лише на рядки, де кожна передумова дорівнює 1.
Щоб заперечити твердження з квантором, перенесіть ¬ досередини, поміняйте ∀ і ∃ та заперечте внутрішню формулу.

Множини, відношення та функції

Дві множини: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|
Три множини: |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|
Різниця та доповнення: A − B = A ∩ B′, |A′| = |U| − |A|
Булеан і декартів добуток: |𝒫(A)| = 2^|A|, |A × B| = |A|·|B|
Підмножини розміру k: C(n, k) = n!/(k!(n − k)!)
Функції A → B: nᵐ; injective n!/(n − m)!; surjective Σ (−1)ᵏ C(n, k)(n − k)ᵐ
Відношення на n елементах: 2^n²; reflexive 2^{n² − n}; symmetric 2^n(n+1)/2
Композиція: (g ∘ f)(x) = g(f(x))

Метод

Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.

Теорія графів

Лема про рукостискання: Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Регулярний граф: |E| = n·k/2
Дерево і ліс: |E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер: цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в K_n: (n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L: (Mᴸ)_ij

Метод

Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).

Теорія чисел і арифметика за модулем

Ділення із залишком: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

Метод

Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).

2Задачі для практики

1.Логіка висловлювань і доведенняСередня

У скількох із 8 рядків таблиці істинності (¬p ∨ q) ↔ ((q ∨ ¬p) ∨ ¬r) істинне? Позначте це число N.

(¬p ∨ q) ↔ ((q ∨ ¬p) ∨ ¬r)

N =

2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна

Яке твердження еквівалентне ¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)), якщо заперечення перенесено повністю досередини? Клікніть його.

¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y))

1∃x (F(x) → ∀y ¬R(x, y))
2∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3∀x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
4∃x (¬F(x) ∧ ∃y R(x, y))

3.Множини, відношення та функціїСередня

Опитування 54 осіб показує, що 28 мають ноутбук (L), 17 мають планшет (T), а 3 мають і те, і те. Скільки не входять до жодної множини?

|U| = 54|L| = 28|T| = 17|L ∩ T| = 3

|(L ∪ T)′| =

4.Множини, відношення та функціїСкладна

Скільки існує бієкцій f: A → B, якщо |A| = |B| = 3? Позначте число N.

|A| = 3|B| = 3

N =

5.Теорія графівСередня

Дерево має 4 вершин степеня 3, 2 вершин степеня 4, 3 вершин степеня 5, а всі його інші вершини — листки (степінь 1). Скільки листків L воно має?

4 × deg 32 × deg 43 × deg 5

L =

6.Теорія графівСкладна

Скільки маршрутів довжиною 2 ведуть від E до C? Маршрут може повторювати вершини й ребра. Позначте число N.

M = матриця суміжностіL = 2

N =

7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня

Розв’яжіть 48x ≡ 37 (mod 67). Дайте розв’язок x, де 0 < x < 67.

48x ≡ 37 (mod 67)

x =

8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна

Скільки розв’язків N має 18x ≡ 10 (mod 22) серед {0, 1, …, 21}?

18x ≡ 10 (mod 22)

N =

3Розчини

1.Логіка висловлювань і доведення

Відповідь: N = 7

Таблиці істинності: формула з n різними змінними має 2ⁿ рядків, по одному для кожної комбінації значень істинності (1 = істина, 0 = хибність). Працюйте зсередини назовні й дайте кожній підформулі власний стовпець. ¬a змінює значення; a ∧ b дорівнює 1 лише тоді, коли обидва дорівнюють 1; a ∨ b дорівнює 0 лише тоді, коли обидва дорівнюють 0; a → b дорівнює 0 лише тоді, коли a = 1 і b = 0; a ↔ b дорівнює 1, коли обидві частини рівні.

Таблиця істинності рядок за рядком

p = 1, q = 1, r = 1: ¬p = 0, ¬p ∨ q = 1, q ∨ ¬p = 1, ¬r = 0, (q ∨ ¬p) ∨ ¬r = 1, (¬p ∨ q) ↔ ((q ∨ ¬p) ∨ ¬r) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: ¬p = 0, ¬p ∨ q = 1, q ∨ ¬p = 1, ¬r = 1, (q ∨ ¬p) ∨ ¬r = 1, (¬p ∨ q) ↔ ((q ∨ ¬p) ∨ ¬r) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: ¬p = 0, ¬p ∨ q = 0, q ∨ ¬p = 0, ¬r = 0, (q ∨ ¬p) ∨ ¬r = 0, (¬p ∨ q) ↔ ((q ∨ ¬p) ∨ ¬r) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: ¬p = 0, ¬p ∨ q = 0, q ∨ ¬p = 0, ¬r = 1, (q ∨ ¬p) ∨ ¬r = 1, (¬p ∨ q) ↔ ((q ∨ ¬p) ∨ ¬r) = 0

p = 0, q = 1, r = 1: ¬p = 1, ¬p ∨ q = 1, q ∨ ¬p = 1, ¬r = 0, (q ∨ ¬p) ∨ ¬r = 1, (¬p ∨ q) ↔ ((q ∨ ¬p) ∨ ¬r) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: ¬p = 1, ¬p ∨ q = 1, q ∨ ¬p = 1, ¬r = 1, (q ∨ ¬p) ∨ ¬r = 1, (¬p ∨ q) ↔ ((q ∨ ¬p) ∨ ¬r) = 1

p = 0, q = 0, r = 1: ¬p = 1, ¬p ∨ q = 1, q ∨ ¬p = 1, ¬r = 0, (q ∨ ¬p) ∨ ¬r = 1, (¬p ∨ q) ↔ ((q ∨ ¬p) ∨ ¬r) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: ¬p = 1, ¬p ∨ q = 1, q ∨ ¬p = 1, ¬r = 1, (q ∨ ¬p) ∨ ¬r = 1, (¬p ∨ q) ↔ ((q ∨ ¬p) ∨ ¬r) = 1

Порахуйте рядки зі значенням 1

(¬p ∨ q) ↔ ((q ∨ ¬p) ∨ ¬r): 1, 1, 1, 0, 1, 1, 1, 1

N = 7

Відповідь

N = 7

2.Логіка висловлювань і доведення

Відповідь: ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.

Перенесіть заперечення досередини

¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

Відповідь

∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

Інші варіанти або залишають квантор без змін, або змінюють порядок кванторів, або неправильно заперечують внутрішню формулу.

3.Множини, відношення та функції

Відповідь: |(L ∪ T)′| = 12

Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.

Області

L ∩ T: 3

L − T: 28 − 3 = 25

T − L: 17 − 3 = 14

(L ∪ T)′: 54 − (25 + 14 + 3) = 12

Відповідь

|(L ∪ T)′| = 12

Відповідь

|(L ∪ T)′| = 12

4.Множини, відношення та функції

Відповідь: N = 6

Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.

Порахуйте

N = 3!/(3 − 3)! = 6

Відповідь

N = 6

5.Теорія графів

Відповідь: L = 19

Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у K_n їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.

Лема про рукостискання для дерева

L + 35 = 2(L + 9) − 2

L = 19

Відповідь

L = 19

Скорочення: L = 2 + Σ (d − 2) за вершинами зі степенем d ≥ 3.

6.Теорія графів

Відповідь: N = 1

Степені: степінь вершини — це кількість ребер, що в ній сходяться. Кожне ребро має два кінці, тож степені в сумі дають подвоєну кількість ребер: Σ deg(v) = 2|E| (лема про рукостискання). Тому кількість вершин з непарним степенем парна. K_n має n(n − 1)/2 ребер, k-регулярний граф на n вершинах має nk/2, а дерево на n вершинах має n − 1 ребро.

Матриця суміжності

A: 0 1 1 0 0

B: 1 0 1 1 1

C: 1 1 0 0 1

D: 0 1 0 0 1

E: 0 1 1 1 0

Спільні сусіди

(M²)_EC = 0·1 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 0·1 = 1

Відповідь

N = 1

7.Теорія чисел і арифметика за модулем

Відповідь: x = 58

Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).

Обернений до 48

r = 67, t = 0

r = 48, q = 1, t = 1

r = 19, q = 2, t = −1

r = 10, q = 1, t = 3

r = 9, q = 1, t = −4

r = 1, q = 9, t = 7

48⁻¹ ≡ 7 (mod 67)

Розв’яжіть

x ≡ 7·37 = 259 ≡ 58 (mod 67)

перевірка: 48·58 = 2784 ≡ 37 (mod 67)

Відповідь

x = 58

8.Теорія чисел і арифметика за модулем

Відповідь: N = 2

Поділіть на НСД

gcd(18, 22) = 2

9x ≡ 5 (mod 11)

Розв’яжіть скорочену конгруенцію

9⁻¹ ≡ 5 (mod 11) → x ≡ 3 (mod 11)

Розв’язки за модулем 22

x ∈ {3, 14}

N = 2

Відповідь

N = 2

ExamProblems · examproblems.com/courses/discrete-mathematics