Намалюйте діаграму Вена й вирішіть область за областю, що належить множинному виразу.
У задачах на підрахунок заповнюйте області від центру назовні: спочатку всі множини, потім пари, потім окремі множини, потім зовнішню частину.
Використовуйте принцип включення–виключення для перевірки: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B|.
Для відношення перевіряйте кожну властивість на кожній парі й наводьте один контрприклад, коли вона не виконується.
Для функції порахуйте стрілки, що приходять до кожного елемента B: не більше однієї означає ін’єктивність, щонайменше одна — сюр’єктивність.
Теорія графів
Лема про рукостискання
Σ deg(v) = 2|E|
Повні графи
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Регулярний граф
|E| = n·k/2
Дерево і ліс
|E| = n − 1, |E| = n − c
Листки дерева
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Ейлер
цикл: усі степені парні; шлях: рівно 2 непарні степені
Гамільтонові цикли в Kn
(n − 1)!/2
Оновлення в алгоритмі Дейкстри
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Маршрути довжиною L
(Mᴸ)ij
Метод
Випишіть степінь кожної вершини; сума степенів дорівнює подвоєній кількості ребер.
У задачах про Ейлера перевірте, що граф зв’язний, і порахуйте вершини з непарним степенем.
Для дерев використовуйте n − 1 ребро та лему про рукостискання.
Для алгоритму Дейкстри ведіть таблицю попередніх відстаней і щоразу фіксуйте незафіксовану вершину з найменшою відстанню.
Для мінімального остовного дерева відсортуйте ребра за вагою й пропускайте кожне ребро, що замикає цикл (Крускал), або нарощуйте одне дерево від початкової вершини (Прім).
Теорія чисел і арифметика за модулем
Ділення із залишком
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
Евклід
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
Найменше спільне кратне
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
Обернена
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
Лінійна конгруенція
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
Функція Ейлера
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
Ферма
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
Метод
Спершу зведіть кожне число за модулем n; залишки лежать між 0 і n − 1.
Для НСД діліть послідовно за алгоритмом Евкліда; останній ненульовий залишок і є НСД.
Для оберненого елемента виконайте розширений алгоритм і візьміть коефіцієнт при a; якщо він від’ємний, додайте n.
Розв’язуйте a·x ≡ b множенням на a⁻¹; поєднуйте дві конгруенції, записавши x = r₁ + m₁k.
Для степенів запишіть показник у двійковому вигляді й послідовно підносьте до квадрата; в RSA d = e⁻¹ mod φ(n), де φ(n) = (p − 1)(q − 1).
2Задачі для практики
1.Логіка висловлювань і доведенняСередня
Яка формула логічно еквівалентна r → p? Клікніть її.
r → p
1¬r ∨ p
2¬r ∧ p
3¬r → ¬p
4p → r
2.Логіка висловлювань і доведенняСкладна
Яке твердження еквівалентне ¬∀x (F(x) ∨ G(x)), якщо заперечення перенесено повністю досередини? Клікніть його.
¬∀x (F(x) ∨ G(x))
1∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
2∃x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
3∀x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
4∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
3.Множини, відношення та функціїСередня
У групі з 66 студентів 32 розмовляють французькою (F), 30 — німецькою (G), а 36 — іспанською (S). 15 розмовляють французькою й німецькою, 13 — французькою й іспанською, 11 — німецькою й іспанською, а 2 розмовляють усіма трьома. Скільки не входять до жодної з трьох множин?
|U| = 66
|(F ∪ G ∪ S)′| =
4.Множини, відношення та функціїСкладна
Бієкцію f на {1, 2, 3, 4, 5} задано таблицею. Знайдіть f−1(2).
f: 1 ↦ 2, 2 ↦ 4, 3 ↦ 3, 4 ↦ 1, 5 ↦ 5
f−1(2) =
5.Теорія графівСередня
Скільки різних гамільтонових циклів H має повний граф K6? Цикли, що відрізняються лише початковою вершиною чи напрямком, вважаються однаковими.
K6
H =
6.Теорія графівСкладна
Знайдіть загальну вагу W мінімального остовного дерева зваженого графа.
|V| = 7|E| = 9
W =
7.Теорія чисел і арифметика за модулемСередня
Розв’яжіть 59x ≡ 29 (mod 88). Дайте розв’язок x, де 0 < x < 88.
59x ≡ 29 (mod 88)
x =
8.Теорія чисел і арифметика за модулемСкладна
Ключ RSA використовує прості числа p = 7 і q = 17 та відкритий показник e = 19. Знайдіть закритий показник d (0 < d < φ(n)).
p = 7q = 17e = 19
d =
3Розчини
1.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ¬r ∨ p
Логічна еквівалентність: дві формули еквівалентні (≡), коли мають однакове значення в кожному рядку таблиці істинності. Тавтологія дорівнює 1 у кожному рядку, суперечність — 0 у кожному рядку, а випадкова формула — ні те, ні інше. Корисні закони: закони де Моргана, ¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b і ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b; a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a (контрапозиція); ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b; а також закони дистрибутивності, a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c).
Закон
a → b дорівнює 0 лише тоді, коли a = 1 і b = 0, тож це те саме, що ¬a ∨ b.
r → p ≡ ¬r ∨ p
Перевірте за таблицею істинності
p = 1, r = 1: 1 | 1 0 1 1
p = 1, r = 0: 1 | 1 1 0 0
p = 0, r = 1: 0 | 0 0 1 1
p = 0, r = 0: 1 | 1 0 1 1
Відповідь
¬r ∨ p
Стовпці після риски — це варіанти в показаному порядку.
2.Логіка висловлювань і доведення
Відповідь: ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
Квантори та міркування: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x) і ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x). Переносьте заперечення досередини, міняйте кожен квантор, який воно проходить, і заперечуйте внутрішню формулу за законами логіки висловлювань, наприклад ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b. Міркування коректне, коли висновок дорівнює 1 у кожному рядку, де всі передумови дорівнюють 1. Один рядок з істинними передумовами та хибним висновком — це контрприклад, який показує, що міркування некоректне.
Перенесіть заперечення досередини
¬∀x (F(x) ∨ G(x)) ≡ ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
Відповідь
∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
Інші варіанти або залишають квантор без змін, або змінюють порядок кванторів, або неправильно заперечують внутрішню формулу.
3.Множини, відношення та функції
Відповідь: |(F ∪ G ∪ S)′| = 5
Множини та діаграми Вена: A ∪ B містить елементи з A або B (або з обох), A ∩ B — елементи з обох, A − B — елементи A, яких немає в B, а доповнення A′ — усе в U, чого немає в A. На діаграмі Вена кожен множинний вираз — це об’єднання областей, тож рахуйте його область за областю. Включення–виключення: |A ∪ B| = |A| + |B| − |A ∩ B| і |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A ∩ B| − |A ∩ C| − |B ∩ C| + |A ∩ B ∩ C|.
Центр і пари
F ∩ G ∩ S: 2
F ∩ G лише: 15 − 2 = 13
F ∩ S лише: 13 − 2 = 11
G ∩ S лише: 11 − 2 = 9
Окремі множини
F лише: 32 − 13 − 11 − 2 = 6
G лише: 30 − 13 − 9 − 2 = 6
S лише: 36 − 11 − 9 − 2 = 14
Відповідь
|F ∪ G ∪ S| = 61
|(F ∪ G ∪ S)′| = 66 − 61 = 5
Відповідь
|(F ∪ G ∪ S)′| = 5
4.Множини, відношення та функції
Відповідь: f−1(2) = 1
Функції та підрахунок: функція f: A → B дає кожному елементу A рівно один образ у B. f ін’єктивна (один до одного), коли різні елементи мають різні образи, сюр’єктивна (на), коли кожен елемент B є образом, і бієктивна, коли виконується і те, і те. За |A| = m і |B| = n існує nᵐ функцій, n!/(n − m)! ін’єктивних (m ≤ n), а за принципом включення–виключення Σ (−1)ᵏ·C(n, k)·(n − k)ᵐ сюр’єктивних. |𝒫(A)| = 2ᵐ і |A × B| = m·n.
Читайте таблицю навпаки
f(1) = 2 → f−1(2) = 1
Відповідь
f−1(2) = 1
5.Теорія графів
Відповідь: H = 60
Ейлер, Гамільтон і дерева: зв’язний граф має ейлерів цикл (кожне ребро один раз, з поверненням до початку), коли кожна вершина має парний степінь, і ейлерів шлях, що не є циклом, коли рівно дві вершини мають непарний степінь; тоді шлях іде від однієї непарної вершини до другої. Гамільтонів цикл відвідує кожну вершину один раз; у Kn їх (n − 1)!/2. Дерево на n вершинах має n − 1 ребро, а зв’язний граф з m ребрами зберігає остовне дерево після вилучення m − n + 1 ребер.
Порахуйте
H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60
Відповідь
H = 60
6.Теорія графів
Відповідь: W = 48
Найкоротші шляхи та остовні дерева: алгоритм Дейкстри фіксує одну вершину за раунд: незафіксовану вершину з найменшою попередньою відстанню. Її відстань тоді остаточна, а кожен сусід v отримує d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). Алгоритм Крускала будує мінімальне остовне дерево, беручи ребра від легких до важких і пропускаючи кожне ребро, що замкнуло б цикл; алгоритм Пріма нарощує одне дерево від початкової вершини, завжди додаючи найлегше ребро, що виходить з нього. Остовне дерево з n вершин має n − 1 ребро.
Алгоритм Крускала
CE (2): взяти
EF (3): взяти
GE (5): взяти
AB (10): взяти
GB (12): взяти
GC (13): пропустити, замикає цикл
GD (16): взяти
Загальна вага
W = 2 + 3 + 5 + 10 + 12 + 16 = 48
Відповідь
W = 48
7.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: x = 87
Обернені елементи та конгруенції: a має обернений за модулем n саме тоді, коли gcd(a, n) = 1. Розширений алгоритм Евкліда записує 1 = s·n + t·a, і тоді a⁻¹ ≡ t (mod n). Конгруенція a·x ≡ b (mod n) з gcd(a, n) = 1 має розв’язок x ≡ a⁻¹·b. Дві конгруенції x ≡ r₁ (mod m₁) і x ≡ r₂ (mod m₂) зі взаємно простими модулями мають один розв’язок за модулем m₁·m₂ (китайська теорема про лишки). Функція Ейлера φ(n) рахує числа від 1 до n, взаємно прості з n: φ(n) = n·∏(1 − 1/p).
Обернений до 59
r = 88, t = 0
r = 59, q = 1, t = 1
r = 29, q = 2, t = −1
r = 1, q = 29, t = 3
59−1 ≡ 3 (mod 88)
Розв’яжіть
x ≡ 3·29 = 87 ≡ 87 (mod 88)
перевірка: 59·87 = 5133 ≡ 29 (mod 88)
Відповідь
x = 87
8.Теорія чисел і арифметика за модулем
Відповідь: d = 91
Степені за модулем і RSA: обчислюйте aᵏ mod n повторним піднесенням до квадрата: запишіть k у двійковому вигляді, підносьте до квадрата, зводьте після кожного кроку й перемножте степені, біти яких дорівнюють 1. Ферма: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p) для простого p, що не ділить a, тож показник можна зводити за модулем p − 1. RSA: оберіть прості p і q, n = p·q і φ(n) = (p − 1)(q − 1); відкритий показник e взаємно простий із φ(n), а закритий показник — d = e⁻¹ mod φ(n). Шифруйте за c = mᵉ mod n, а дешифруйте за m = cᵈ mod n.